Os sistemas dados a seguir têm a entrada x(t) ou x[n] e saída y(t) ou y[n], respectivamente. Determine se cada um deles é (i) sem memória, (ii) estável, (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante no tempo e justifque suas respostas.
y(t)=x(t / 2)

Passo 1

O enunciado dá um sistema contínuo com entrada x(t) e saída y(t) definidas por
y(t)=x\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
As perguntas que precisamos responder (cada uma com justificativa) são:
(i) o sistema é sem memória?
(ii) o sistema é estável (BIBO)?
(iii) o sistema é causal?
(iv) o sistema é linear?
(v) o sistema é invariante no tempo?
As informações relevantes são apenas a expressão do sistema acima: para cada instante t a saída é o valor da entrada no instante \tfrac{t}{2}.

Passo 2

Definição e teste para “sem memória” (memoryless).
  • Definição: um sistema é sem memória se, para todo instante t_0, o valor da saída em t_0 depende somente do valor da entrada naquele mesmo instante t_0. Em fórmula: um sistema T é sem memória se existir uma função F tal que
y(t_0)=T\{x\}(t_0)=F\big(x(t_0)\big)
para todo t_0 e para toda entrada x.
  • Aplicação ao sistema: aqui
y(t_0)=x\!\left(\tfrac{t_0}{2}\right).
Esse valor depende de x no instante \tfrac{t_0}{2}, que em geral não é igual a t_0. Portanto o valor da saída em t_0 usa o valor da entrada em outro instante, salvo casos especiais de t_0 (por exemplo t_0=0 onde \tfrac{t_0}{2}=t_0), mas a definição exige que isso valha para todo t_0.
  • Conclusão do teste: o sistema não é sem memória (ou seja, tem memória).

Passo 3

Definição e teste para estabilidade BIBO.
  • Definição: um sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada (bounded) produz uma saída limitada. Formalmente, se existir M_x<\infty tal que |x(t)|\le M_x para todo t, então deve existir M_y<\infty com |y(t)|\le M_y para todo t.
  • Aplicação ao sistema: suponha que a entrada é limitada, ou seja existe M com
|x(t)|\le M\quad\text{para todo }t.
Então para a saída temos, para qualquer t,
|y(t)|=\left|x\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\right|\le M,
pois \tfrac{t}{2} é apenas outro ponto do tempo e a hipótese de limite vale para todos os instantes. Assim a saída é limitada por M.
  • Conclusão do teste: o sistema é BIBO-estável.

Passo 4

Definição e teste para causalidade.
  • Definição: um sistema é causal se, para cada instante t_0, a saída em t_0 depende apenas dos valores da entrada em instantes \tau\le t_0 (ou seja, não depende do futuro). Em termos práticos, para todo t_0 deve ocorrer que os instantes da entrada usados para computar y(t_0) não sejam maiores que t_0.
  • Aplicação ao sistema: y(t_0)=x(\tfrac{t_0}{2}). Para que o sistema fosse causal precisaríamos que, para todo t_0,
\tfrac{t_0}{2}\le t_0.
Quando isso é verdade? A desigualdade \tfrac{t_0}{2}\le t_0 equivale a 0\le \tfrac{t_0}{2}, ou seja t_0\ge 0. Portanto para instantes t_0\ge 0 o ponto \tfrac{t_0}{2} está no passado ou presente relativo a t_0. Mas para instantes negativos t_0<0 temos \tfrac{t_0}{2}>t_0: por exemplo, escolha t_0=-1. Então
y(-1)=x\!\left(-\tfrac{1}{2}\right),
e -\tfrac{1}{2} é maior que -1, ou seja é “futuro” com relação a -1. Isso mostra que a saída em -1 usa um valor futuro da entrada. A condição deve valer para todo t_0; como falha para t_0<0, o sistema não é causal.
  • Conclusão do teste: o sistema não é causal.

Passo 5

Definição e teste para linearidade.
  • Definição: um sistema T é linear se satisfaz a propriedade de superposição (homogeneidade + aditividade): para quaisquer entradas x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b,
T\{a x_1 + b x_2\}(t)=a\,T\{x_1\}(t)+b\,T\{x_2\}(t)\quad\text{para todo }t.
  • Aplicação ao sistema: calcule T\{a x_1 + b x_2\}:
T\{a x_1 + b x_2\}(t)= (a x_1 + b x_2)\!\left(\tfrac{t}{2}\right) = a\,x_1\!\left(\tfrac{t}{2}\right) + b\,x_2\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Mas x_1\!\left(\tfrac{t}{2}\right)=T\{x_1\}(t) e x_2\!\left(\tfrac{t}{2}\right)=T\{x_2\}(t). Então
T\{a x_1 + b x_2\}(t)=a\,T\{x_1\}(t)+b\,T\{x_2\}(t).
A igualdade vale para todo t, então a superposição é satisfeita.
  • Conclusão do teste: o sistema é linear.

Passo 6

Definição e teste para invariância no tempo (time-invariance).
  • Definição: um sistema T é invariante no tempo se um deslocamento da entrada gera o mesmo deslocamento na saída, ou seja, para todo atraso \tau e toda entrada x,
T\{x(t-\tau)\}(t) = T\{x\}(t-\tau).
Em palavras: aplicar a operação e depois deslocar é o mesmo que deslocar a entrada e depois aplicar a operação.
  • Aplicação ao sistema: primeiro compute a saída quando a entrada é atrasada em \tau:
T\{x(t-\tau)\}(t) = (x(t-\tau))\!\left(\tfrac{t}{2}\right) = x\!\left(\tfrac{t}{2}-\tau\right).
Agora calcule a saída original deslocada:
T\{x\}(t-\tau) = y(t-\tau) = x\!\left(\tfrac{t-\tau}{2}\right) = x\!\left(\tfrac{t}{2}-\tfrac{\tau}{2}\right).
Compare os dois argumentos da função x: são \tfrac{t}{2}-\tau e \tfrac{t}{2}-\tfrac{\tau}{2}. Em geral esses dois não são iguais (exceto se \tau=0). Portanto, para um \tau genérico temos
T\{x(t-\tau)\}(t) \neq T\{x\}(t-\tau),
o que mostra que o sistema não é invariante no tempo.
  • Exemplo concreto (contradomínio): pegando \tau=1 e, por exemplo, x(t)=u(t) (função degrau), os dois sinais x(\tfrac{t}{2}-1) e x(\tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}) têm pontos de salto em instantes diferentes, confirmando a não invariância.
  • Conclusão do teste: o sistema não é invariante no tempo.

Passo 7

Recapitulando de forma bem direta (já com justificativas dadas nos passos anteriores):
  • o sistema não é sem memória porque y(t) depende de x em \tfrac{t}{2}, diferente de t em geral;
  • é BIBO-estável porque uma entrada limitada por M traz saída limitada por M;
  • não é causal porque para instantes negativos t_0 o ponto \tfrac{t_0}{2} é futuro relativo a t_0 (ex.: t_0=-1);
  • é linear porque preserva superposição (ver cálculo direto);
  • não é invariante no tempo porque um deslocamento na entrada gera um deslocamento diferente na saída (compare \tfrac{t}{2}-\tau com \tfrac{t}{2}-\tfrac{\tau}{2}).

Resposta

(i) sem memória: Não.
(ii) estável: Sim.
(iii) causal: Não.
(iv) linear: Sim.
(v) invariante no tempo: Não.

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