Um dos catetos de um triângulo retângulo mede ell cm e o ângulo oposto a este cateto mede 30^circ. Qual a área, em cm^2, deste triângulo?
(A) ell^2 raiz32
(B) ell^2 raiz36
© ell^2 raiz34
(D) ell^2 raiz39
(E) ell^2 raiz33

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um triângulo retângulo. Nele, um dos catetos mede ell cm e o ângulo oposto a esse cateto é de 30^circ. Nosso objetivo é encontrar a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de trigonometria e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo de 90^circ são chamados de catetos, e o lado oposto a esse ângulo é a hipotenusa. Neste problema, já sabemos o comprimento de um dos catetos ( ell cm) e o valor de um dos ângulos agudos ( 30^circ).

Passo 3

Para encontrar a área do triângulo, precisamos saber o comprimento dos dois catetos. Já temos um deles ( ell cm), então vamos encontrar o outro. Vamos usar a função trigonométrica tangente, que relaciona um ângulo agudo de um triângulo retângulo com os comprimentos dos catetos.

Passo 4

A tangente de um ângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. No nosso caso:
tan(30^circ) = cateto opostocateto adjacente = ellx
Onde x é o comprimento do outro cateto que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que tan(30^circ) = raiz33. Substituindo na equação:
raiz33 = ellx
Resolvendo para x:
x = 3ellraiz3 = ell cdot 3raiz3 = ell raiz3
Então, o outro cateto mede ell raiz3 cm.

Passo 6

Agora que temos os dois catetos, podemos calcular a área do triângulo. A fórmula para a área de um triângulo retângulo é:
Área = 12 times cateto 1 times cateto 2 Á
Substituindo os valores:
Área = 12 times ell times ell raiz3 = ell^2 raiz32 Á

Resposta

A área do triângulo é ell^2 raiz32, cm^2. Portanto, a resposta correta é a letra (A).

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