Um dos catetos de um triângulo retângulo mede
e o ângulo oposto a este cateto mede
. Qual a área, em
, deste triângulo?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um triângulo retângulo. Nele, um dos catetos mede
cm e o ângulo oposto a esse cateto é de
. Nosso objetivo é encontrar a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de trigonometria e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo de
são chamados de catetos, e o lado oposto a esse ângulo é a hipotenusa. Neste problema, já sabemos o comprimento de um dos catetos (
cm) e o valor de um dos ângulos agudos (
).
Passo 3
Para encontrar a área do triângulo, precisamos saber o comprimento dos dois catetos. Já temos um deles (
cm), então vamos encontrar o outro. Vamos usar a função trigonométrica tangente, que relaciona um ângulo agudo de um triângulo retângulo com os comprimentos dos catetos.
Passo 4
A tangente de um ângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. No nosso caso:
Onde
é o comprimento do outro cateto que queremos encontrar.
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Então, o outro cateto mede
cm.
Passo 6
Agora que temos os dois catetos, podemos calcular a área do triângulo. A fórmula para a área de um triângulo retângulo é:
Substituindo os valores:
Resposta
A área do triângulo é
. Portanto, a resposta correta é a letra (A).