Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 cm e 4 cm . A área total do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da sua hipotenusa, em cm², é
a) 32 pi3.
b) 14 pi.
c) 84 pi5.
d) 20 pi.
e) 25 pi.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm, e a hipotenusa mede 5 cm. Ele é girado em torno da hipotenusa, gerando um sólido cuja área total queremos determinar. O conteúdo envolve a área lateral de cones formados pela rotação dos catetos em torno da hipotenusa.

Passo 2

Para saber o raio da base dos cones gerados, calculamos a distância h do vértice do ângulo reto C à hipotenusa AB. Usamos que a área do triângulo vale
3cdot42=6
e também
5cdot h2=6
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h=125 cm

Passo 3

Ao girar o cateto AC (de comprimento 3 cm) em torno da hipotenusa, formamos um cone de vértice em A, geratriz s1=3 cm e raio da base R = h = tfrac125 cm. A área lateral desse cone é
pi R s1 =picdot125cdot3 =36pi5

Passo 4

De modo análogo, o cateto BC (de comprimento 4 cm) ao girar gera um cone de vértice em B, geratriz s2=4 cm e mesmo raio da base R=tfrac125 cm. Sua área lateral é
pi R s2 =picdot125cdot4 =48pi5

Passo 5

A área total do sólido é a soma das áreas laterais dos dois cones:
36pi5+48pi5 =84pi5

Resposta

c) 84pi5

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