Determine a matriz da transformação linear em relação à base canônica.
T(x, y, z, t)=(x-y, z, x+2 y-t, t)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de
Tcolon R^4 to R^4, T(x,y,z,t) = (x - y,;z,;x+2y - t,;t)
na base canônica e1,e2,e3,e4. Para isso vamos calcular as imagens de e1,e2,e3,e4 e usar essas imagens como colunas da matriz de T.

Passo 2

Calcular T(e1), onde e1=(1,0,0,0):
T(1,0,0,0) = (1-0,;0,;1+2cdot0-0,;0) = (1,0,1,0)

Passo 3

Calcular T(e2), T(e3) e T(e4):
T(0,1,0,0) = (0-1,;0,;0+2cdot1-0,;0) = (-1,0,2,0),
T(0,0,1,0) = (0-0,;1,;0+2cdot0-0,;0) = (0,1,0,0),
T(0,0,0,1) = (0-0,;0,;0+2cdot0-1,;1) = (0,0,-1,1)

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas dadas por T(e1),T(e2),T(e3),T(e4). Logo,
A = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1

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