Os catetos de um triângulo retângulo medem 2 e 4 metros e aumentam numa velocidade de 1 e 2 metros por minuto, respectivamente. Com que velocidade varia o perímetro deste triângulo?

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo retângulo cujos catetos medem a=2 m e b=4 m no instante em questão, com taxas de variação dot a=1 m/min e dot b=2 m/min. Queremos achar a taxa de variação do perímetro
P = a + b + c,
onde c é a hipotenusa. Para isso vamos usar derivação em relação ao tempo e a relação de Pitágoras.

Passo 2

Da relação de Pitágoras ,c = raiza^2 + b^2, derivamos em relação ao tempo t:
dot c = 12raiza^2+b^2cdot 2l(a,dot a + b,dot br) =a,dot a + b,dot bc

Passo 3

No instante dado:
a=2, b=4,
logo
c = raiz2^2 + 4^2 = raiz20 = 2raiz5
E
a,dot a + b,dot b = 2cdot1 + 4cdot2 = 2 + 8 = 10
Portanto
dot c = 102raiz5 = 5raiz5 = raiz5 (m/min)

Passo 4

O perímetro é P=a+b+c, então
dot P = dot a + dot b + dot c = 1 + 2 + raiz5 = 3 + raiz5 (m/min)

Resposta

A velocidade de variação do perímetro é 3 + raiz5 metros por minuto.

Exercícios relacionados