Encontre d ud s|s=2, onde u=x raizx-y, x=x(s), com x(2)=13, x^prime(2)=4, y=s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de u em relação a s no ponto onde s = 2 . O enunciado nos dá a função u = x raizx - y , onde x depende de s ( x = x(s) ) com x(2) = 13 e sua derivada x'(2) = 4 . Também sabemos que y = s^2 .
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto de derivadas. A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, e a regra do produto é usada quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar calcular duds passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função u de forma mais clara:
u = x cdot raizx - y
Aqui, u é o produto de x e raizx - y . Para encontrar a derivada de u em relação a s , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto f cdot g é f' cdot g + f cdot g' .
Então, aplicando a regra do produto:
duds = dxds cdot raizx - y + x cdot dds ( raizx - y )

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de raizx - y em relação a s . Vamos usar a regra da cadeia para isso. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta f(g(s)) é f'(g(s)) cdot g'(s) .
A função raizx - y pode ser escrita como (x - y)^1/2 . Então, a derivada é:
dds ( raizx - y ) = 12 (x - y)^-1/2 cdot dds (x - y)
A derivada de (x - y) em relação a s é dxds - dyds . Sabemos que y = s^2 , então dyds = 2s .
Substituindo de volta:
dds ( raizx - y ) = 12 (x - y)^-1/2 cdot (x' - 2s)

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo de volta na expressão da derivada de u :
duds = x' cdot raizx - y + x cdot ( 12 (x - y)^-1/2 cdot (x' - 2s) )
Simplificando:
duds = x' cdot raizx - y + x (x' - 2s)2 raizx - y

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema: s = 2 , x = 13 , x' = 4 , e y = s^2 = 4 .
Primeiro, calcule x - y :
x - y = 13 - 4 = 9
Então, raizx - y = raiz9 = 3 .
Substituindo os valores na expressão da derivada:
duds = 4 cdot 3 + 13 (4 - 2 cdot 2)2 cdot 3
Calculando passo a passo:
4 cdot 3 = 12
4 - 4 = 0
13 cdot 06 = 0
Portanto:
duds = 12 + 0 = 12

Resposta

A derivada de u em relação a s no ponto s = 2 é 12 .

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