Encontre , onde u=x raizx-y, x=x(s), com x(2)=13, x^prime(2)=4, y=s^2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de u em relação a s no ponto onde s = 2 . O enunciado nos dá a função u = x raizx - y , onde x depende de s ( x = x(s) ) com x(2) = 13 e sua derivada x'(2) = 4 . Também sabemos que y = s^2 .
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto de derivadas. A regra da cadeia é útil quando temos funções compostas, e a regra do produto é usada quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar calcular duds passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função u de forma mais clara:
u = x cdot raizx - y
Aqui, u é o produto de x e raizx - y . Para encontrar a derivada de u em relação a s , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto f cdot g é f' cdot g + f cdot g' .
Então, aplicando a regra do produto:
duds = dxds cdot raizx - y + x cdot dds ( raizx - y )
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de raizx - y em relação a s . Vamos usar a regra da cadeia para isso. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta f(g(s)) é f'(g(s)) cdot g'(s) .
A função raizx - y pode ser escrita como (x - y)^1/2 . Então, a derivada é: