Seja z=z(x, y) dada por x z^2y-4 yz+zx+y=x^3 y^3z. Sabendo-se que z(-1,2)>0, encontre partial zpartial x(-1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função implícita
F(x,y,z)=x,z^2y-4yz+zx+y-x^3y^3z=0
que define z=z(x,y). Queremos partial zpartial x(-1,2). Vamos usar o Teorema da Função Implícita, que diz que
partial zpartial x=-FxFz,
desde que Fzneq0. Precisamos então de três etapas: ( 1) achar z(-1,2), ( 2) calcular Fx e Fz de forma geral, ( 3) avaliar em (x,y,z)=(-1,2,z(-1,2)) e obter partial z/partial x.

Passo 2

Para determinar z(-1,2), plugamos x=-1 e y=2 em F=0:
F(-1,2,z)=-z^22-8z+z1+8z =-z^22+z=0
Logo
-tfracz^22+z=0 Longrightarrow zl(-tfracz2+1r)=0
as soluções são z=0 ou z=2. Como sabemos z(-1,2)>0, escolhemos
z(-1,2)=2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F(x,y,z).
- Derivada em relação a x:
Fx =partialpartial xl(tfracx,z^2yr) +0 +partialpartial xl(tfraczx+yr) -partialpartial xl(tfracx^3y^3zr) =z^2y-z(x+y)^2-3x^2y^3z
- Derivada em relação a z:
Fz =partialpartial zl(tfracx,z^2yr) +partialpartial zl(-tfrac4yzr) +partialpartial zl(tfraczx+yr) -partialpartial zl(tfracx^3y^3zr) = 2x,zy-4yz^2+1x+y+x^3y^3z^2

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y,z)=(-1,2,2).
Primeiro
Fx(-1,2,2) =2^22-21^2-3cdot(-1)^2,2^32 =2-2-3cdot1cdot82 =0-12 =-12
Depois
Fz(-1,2,2) =2cdot(-1)cdot22+4cdot22^2+11+(-1)^32^32^2 =-2+2+1-!2=-1
Pelo Teorema da Função Implícita,
partial zpartial x(-1,2) =-Fx(-1,2,2)Fz(-1,2,2) =--12-1 =-12

Resposta

partial zpartial x(-1,2)=-12

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