As dimensões de uma caixa retangular fechada são
(largura), 3 m (comprimento) e
(altura), com erro possível de
em cada medida.
Usando aproximação linear, estime o erro máximo no valor do cálculo do volume desta caixa.
Usando aproximação linear, estime o erro máximo no valor do cálculo do volume desta caixa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa retangular com dimensões de
(largura),
(comprimento) e
(altura). Cada uma dessas medidas pode ter um erro de até
. Nosso objetivo aqui é usar a aproximação linear para estimar qual é o erro máximo que pode ocorrer no cálculo do volume dessa caixa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como pequenos erros nas medidas afetam o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o mesmo padrão. Como as medidas estão em metros e o erro está em centímetros, vamos transformar os
em metros:
Isso facilita nossos cálculos posteriores.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o volume (
) de uma caixa retangular é calculado multiplicando-se a largura (
), o comprimento (
) e a altura (
):
No nosso caso:
Passo 4
Para estimar o erro no volume devido aos erros nas medidas, usamos a aproximação linear. Isso envolve calcular as derivadas parciais do volume em relação a cada dimensão e multiplicar pelo erro correspondente. A soma desses valores nos dá o erro máximo no volume.
As derivadas parciais são:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas derivadas com os valores dados:
Passo 6
Agora, multiplicamos cada derivada pelo erro nas respectivas medidas (
,
,
), que é
:
Passo 7
Para encontrar o erro máximo total no volume, somamos os erros individuais:
Resposta
O erro máximo no cálculo do volume da caixa, usando aproximação linear, é de aproximadamente
.