As dimensões de uma caixa retangular fechada são 2 m (largura), 3 m (comprimento) e 3,6 m (altura), com erro possível de pm 0,2 cm em cada medida.
Usando aproximação linear, estime o erro máximo no valor do cálculo do volume desta caixa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa retangular com dimensões de 2,m (largura), 3,m (comprimento) e 3,6,m (altura). Cada uma dessas medidas pode ter um erro de até pm 0,2,cm. Nosso objetivo aqui é usar a aproximação linear para estimar qual é o erro máximo que pode ocorrer no cálculo do volume dessa caixa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como pequenos erros nas medidas afetam o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o mesmo padrão. Como as medidas estão em metros e o erro está em centímetros, vamos transformar os 0,2,cm em metros:
0,2,cm = 0,002,m
Isso facilita nossos cálculos posteriores.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o volume ( V) de uma caixa retangular é calculado multiplicando-se a largura ( L), o comprimento ( C) e a altura ( H):
V = L times C times H
No nosso caso:
V = 2,m times 3,m times 3,6,m = 21,6,m^3

Passo 4

Para estimar o erro no volume devido aos erros nas medidas, usamos a aproximação linear. Isso envolve calcular as derivadas parciais do volume em relação a cada dimensão e multiplicar pelo erro correspondente. A soma desses valores nos dá o erro máximo no volume.
As derivadas parciais são:
partial Vpartial L = C times H
partial Vpartial C = L times H
partial Vpartial H = L times C

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas derivadas com os valores dados:
partial Vpartial L = 3,m times 3,6,m = 10,8,m^2
partial Vpartial C = 2,m times 3,6,m = 7,2,m^2
partial Vpartial H = 2,m times 3,m = 6,m^2

Passo 6

Agora, multiplicamos cada derivada pelo erro nas respectivas medidas ( De<a L, De<a C, De<a H), que é 0,002,m:
De<a VL = 10,8,m^2 times 0,002,m = 0,0216,m^3
De<a VC = 7,2,m^2 times 0,002,m = 0,0144,m^3
De<a VH = 6,m^2 times 0,002,m = 0,012,m^3

Passo 7

Para encontrar o erro máximo total no volume, somamos os erros individuais:
De<a Vtotal = De<a VL + De<a VC + De<a VH = 0,0216,m^3 + 0,0144,m^3 + 0,012,m^3 = 0,048,m^3

Resposta

O erro máximo no cálculo do volume da caixa, usando aproximação linear, é de aproximadamente 0,048,m^3.

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