CAUTION! Constant of integration. Why is it important to introduce the constant of integration immediately when you integrate?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, ao calcular uma integral indefinida, devemos escrever logo de cara o “ +C”, a tal constante de integração. O conteúdo aqui é cálculo diferencial e integral, mais especificamente o conceito de antiderivada ou integral indefinida.

Passo 2

Lembre que a integral indefinida de uma função f(x) é definida por
integral f(x),dx = F(x) + C,
onde F'(x)=f(x) e C é uma constante arbitrária. Esse “ +C” expressa o fato de que qualquer duas antiderivadas de f diferem somente por uma constante.

Passo 3

Para ver por que o C não pode ficar para depois, observe que
ddxl(F(x)+Cr)=F'(x)=f(x)
Se você esquecer o C, estará implicitamente escolhendo uma única antiderivada em vez de toda a família, perdendo informações sobre possíveis soluções.

Passo 4

Imagine que você resolve a equação diferencial
dydx=2x
Integrando, deve escrever
y = integral 2x,dx = x^2 + C
Se você omitir o C agora, depois não terá como ajustar a solução a uma condição inicial, por exemplo y(1)=5.

Passo 5

Em problemas com condições iniciais ou de contorno, o valor de C é determinado explicitamente. Se o +C não estiver lá desde o começo, você poderá cometer erros de contagem de soluções ou simplesmente não conseguir impor a condição dada.

Resposta

Porque a integral indefinida representa uma família de antiderivadas F(x)+C; introduzir o +C imediatamente garante que não percamos nenhuma solução, permite ajustar condições iniciais e evita erros ao manipular os resultados.

Exercícios relacionados