CAUTION! Constant of integration. Why is it important to introduce the constant of integration immediately when you integrate?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, ao calcular uma integral indefinida, devemos escrever logo de cara o “
”, a tal constante de integração. O conteúdo aqui é cálculo diferencial e integral, mais especificamente o conceito de antiderivada ou integral indefinida.
Passo 2
Lembre que a integral indefinida de uma função
é definida por
onde
e
é uma constante arbitrária. Esse “
” expressa o fato de que qualquer duas antiderivadas de
diferem somente por uma constante.
Passo 3
Para ver por que o
não pode ficar para depois, observe que
Se você esquecer o
, estará implicitamente escolhendo uma única antiderivada em vez de toda a família, perdendo informações sobre possíveis soluções.
Passo 4
Imagine que você resolve a equação diferencial
Integrando, deve escrever
Se você omitir o
agora, depois não terá como ajustar a solução a uma condição inicial, por exemplo
.
Passo 5
Em problemas com condições iniciais ou de contorno, o valor de
é determinado explicitamente. Se o
não estiver lá desde o começo, você poderá cometer erros de contagem de soluções ou simplesmente não conseguir impor a condição dada.
Resposta
Porque a integral indefinida representa uma família de antiderivadas
; introduzir o
imediatamente garante que não percamos nenhuma solução, permite ajustar condições iniciais e evita erros ao manipular os resultados.