Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
y^3 y^prime+x^3=0

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial: y^3 y^prime + x^3 = 0 . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos trabalhar com técnicas de equações diferenciais, mais especificamente, vamos usar a separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações onde a gente consegue separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
y^3 dydx + x^3 = 0
Vamos isolar o termo que envolve dydx :
y^3 dydx = -x^3
Agora, vamos separar as variáveis y e x de cada lado da equação dividindo ambos os lados por y^3 :
dydx = -x^3y^3

Passo 3

Para usar a separação de variáveis, vamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x do outro. Multiplicando ambos os lados por y^3 e dx , temos:
y^3 dy = -x^3 dx
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral y^3 dy = integral -x^3 dx
Calculando as integrais:
y^44 = -x^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 4:
y^4 = -x^4 + C'
Onde C' = 4C . Podemos reescrever isso como:
y^4 + x^4 = C'
Essa é a forma geral da solução da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y^4 + x^4 = C , onde C é uma constante real.

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