Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos trabalhar com técnicas de equações diferenciais, mais especificamente, vamos usar a separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações onde a gente consegue separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação original é:
Vamos isolar o termo que envolve
:
Agora, vamos separar as variáveis
e
de cada lado da equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Para usar a separação de variáveis, vamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
e
, temos:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 4:
Onde
. Podemos reescrever isso como:
Essa é a forma geral da solução da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.