Questão 6. Calcule a integral
integral duplaD y d A
onde D é a região limitada pelas curvas x^2+y^2-2 y=0 e
x^2+y^2-4 y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular a integral dupla
integral duplaD y , dA
onde D é a região delimitada pelas curvas x^2 + y^2 - 2y = 0 e x^2 + y^2 - 4y = 0 . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões limitadas por curvas. Para resolver, vamos precisar entender como representar essas curvas e escolher um sistema de coordenadas adequado para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar identificando as curvas que delimitam a região D . As equações dadas são:
  1. x^2 + y^2 - 2y = 0
  2. x^2 + y^2 - 4y = 0
Vamos reescrever essas equações completando o quadrado para identificar que tipo de curvas são.
Para a primeira equação:
x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1 x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa uma circunferência com centro em (0,1) e raio 1 .
Para a segunda equação:
x^2 + y^2 - 4y = 0 x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4 x^2 + (y - 2)^2 = 4
Aqui, temos uma circunferência com centro em (0,2) e raio 2 .

Passo 3

Agora que identificamos as duas circunferências, vamos visualizar a região D . A primeira circunferência está centrada em (0,1) com raio 1 , e a segunda está em (0,2) com raio 2 . Isso significa que a segunda circunferência engloba a primeira, pois o centro está mais acima no eixo y e o raio é maior.
Portanto, D é a região entre essas duas circunferências, ou seja, a área que está dentro da segunda circunferência e fora da primeira.

Passo 4

Para calcular a integral dupla sobre a região D , é conveniente usar coordenadas polares devido à simetria circular das curvas. No entanto, como os centros das circunferências não estão no mesmo ponto, vamos ajustar as coordenadas para facilitar.
Vamos fazer uma mudança de variável no eixo y para centralizar as circunferências. Definimos uma nova variável v = y - 1 . Assim, as equações das circunferências ficam:
  1. x^2 + v^2 = 1 (primeira circunferência)
  2. x^2 + (v + 1)^2 = 4 (segunda circunferência)
Isso simplifica a visualização e facilita a aplicação das coordenadas polares.

Passo 5

Agora, configuramos as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta v = r sin theta
A área diferencial em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta .
Vamos determinar os limites de integração para r e theta . Observamos que r varia de 1 a 2 (raios das circunferências), e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a região circular.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaD y , dA = integral0^2pi integral1^2 (v + 1) , r , dr , dtheta
Lembrando que v = r sin theta , então:
integral duplaD y , dA = integral0^2pi integral1^2 (r sin theta + 1) , r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral1^2 (r sin theta + 1) , r , dr = integral1^2 (r^2 sin theta + r) , dr
Integramos termo a termo:
integral1^2 r^2 sin theta , dr = sin theta [ r^33 ]1^2 = sin theta ( 83 - 13 ) = sin theta cdot 73
integral1^2 r , dr = [ r^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32
Portanto, a integral interna resulta em:
73 sin theta + 32

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a theta :
integral0^2pi ( 73 sin theta + 32 ) dtheta = 73 integral0^2pi sin theta , dtheta + 32 integral0^2pi dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
e
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
73 cdot 0 + 32 cdot 2pi = 3pi

Resposta

O valor da integral dupla é 3pi .

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