Questão 6. Calcule a integral
onde
é a região limitada pelas curvas
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões limitadas por curvas. Para resolver, vamos precisar entender como representar essas curvas e escolher um sistema de coordenadas adequado para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos começar identificando as curvas que delimitam a região
. As equações dadas são:
Vamos reescrever essas equações completando o quadrado para identificar que tipo de curvas são.
Para a primeira equação:
Isso representa uma circunferência com centro em
e raio
.
Para a segunda equação:
Aqui, temos uma circunferência com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora que identificamos as duas circunferências, vamos visualizar a região
. A primeira circunferência está centrada em
com raio
, e a segunda está em
com raio
. Isso significa que a segunda circunferência engloba a primeira, pois o centro está mais acima no eixo
e o raio é maior.
Portanto,
é a região entre essas duas circunferências, ou seja, a área que está dentro da segunda circunferência e fora da primeira.
Passo 4
Para calcular a integral dupla sobre a região
, é conveniente usar coordenadas polares devido à simetria circular das curvas. No entanto, como os centros das circunferências não estão no mesmo ponto, vamos ajustar as coordenadas para facilitar.
Vamos fazer uma mudança de variável no eixo
para centralizar as circunferências. Definimos uma nova variável
. Assim, as equações das circunferências ficam:
-
(primeira circunferência) -
(segunda circunferência)
Isso simplifica a visualização e facilita a aplicação das coordenadas polares.
Passo 5
Agora, configuramos as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
A área diferencial em coordenadas polares é
.
Vamos determinar os limites de integração para
e
. Observamos que
varia de
a
(raios das circunferências), e
varia de
a
para cobrir toda a região circular.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integramos termo a termo:
Portanto, a integral interna resulta em:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que:
e
Portanto:
Resposta
O valor da integral dupla é
.