Se A=[cc0 & 1 -1 & 0], mostre que A^2=-I. Mostre que não existem matrizes de tamanho 3 times 3 tais que A^2=-I3. Mostre que não existem matrizes de tamanho n times n, com n ímpar, tais que A^2=-In.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Mostrar que, para
A=0 & 1 -1 & 0,
vale A^2=-I2.
2. Mostrar que não existe matriz real 3times3 tal que B^2=-I3.
3. Generalizar: não existe matriz real ntimes n com n ímpar tal que C^2=-In.
Vamos usar multiplicação de matrizes e propriedades do determinante em R.

Passo 2

Calculamos
A^2 ;=; 0 & 1-1 & 0 0 & 1-1 & 0 = 0cdot0 + 1cdot(-1) & 0cdot1 + 1cdot0 -1cdot0 + 0cdot(-1) & -1cdot1 + 0cdot0 = -1 & 00 & -1 =-I2

Passo 3

Suponha que exista Bin M3times3(R) com B^2=-I3. Aplicando determinante em ambos os lados:
det(B^2)=det(-I3) Longrightarrow (det B)^2 = (-1)^3 = -1
Porém (det B)^2>=0 em R, logo não pode ser -1. Contradição. Portanto não existe tal B.

Passo 4

O mesmo argumento vale para dimensão n ímpar. Se Cin Mntimes n(R) satisfizesse C^2=-In, teríamos
(det C)^2=det(C^2)=det(-In)=(-1)^n=-1 (pois (n) é ímpar), éí
o que é impossível em R. Logo não existe matriz real ntimes n ímpar com C^2=-In.

Resposta

A^2=-I2
Não existe Bin M3times3(R) tal que B^2=-I3.
Não existe Cin Mntimes n(R) com n ímpar tal que C^2=-In.

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