Usando a Desigualdade de Schwarz demonstre o corolário:
Corolário 1 (Desigualdade triângular). Seja
um
-espaço vetorial com produto interno. Então
Corolário 1 (Desigualdade triângular). Seja
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade triangular em um espaço vetorial real
com produto interno, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores
vale
Vamos usar a definição de norma em termos do produto interno,
,
e a Desigualdade de Schwarz:
e a Desigualdade de Schwarz:
Passo 2
Começamos calculando o quadrado da norma de
. Pela definição,
Como o produto interno é bilinear e simétrico, isso expande para
Passo 3
Agora usamos que
e aplicamos a Desigualdade de Schwarz:
Logo,
Passo 4
Substituindo essa estimativa em
, obtemos
Passo 5
Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada sem inverter a desigualdade, resultando em