Usando a Desigualdade de Schwarz demonstre o corolário:
Corolário 1 (Desigualdade triângular). Seja V um R-espaço vetorial com produto interno. Então
|u+v| <= |u|+|v|

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade triangular em um espaço vetorial real V com produto interno, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores u,vin V vale
|u+v|<= |u|+|v|
Vamos usar a definição de norma em termos do produto interno,
|w|^2=lang<= w,wrang<=,
e a Desigualdade de Schwarz:
|lang<= u,vrang<=|<= |u|,|v|

Passo 2

Começamos calculando o quadrado da norma de u+v. Pela definição,
|u+v|^2=lang<= u+v,,u+vrang<=
Como o produto interno é bilinear e simétrico, isso expande para
|u+v|^2 =lang<= u,urang<=+2lang<= u,vrang<=+lang<= v,vrang<= =|u|^2+2lang<= u,vrang<=+|v|^2

Passo 3

Agora usamos que lang<= u,vrang<=<=|lang<= u,vrang<=| e aplicamos a Desigualdade de Schwarz:
|lang<= u,vrang<=|<= |u|,|v|
Logo,
2lang<= u,vrang<=<= 2,|lang<= u,vrang<=|<= 2,|u|,|v|

Passo 4

Substituindo essa estimativa em |u+v|^2, obtemos
|u+v|^2 <= |u|^2+2,|u|,|v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2

Passo 5

Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada sem inverter a desigualdade, resultando em
|u+v|<= |u|+|v|

Resposta

|u+v|<= |u|+|v|.

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