A=[cc0 & a b & 0] in M(2,2) / a, b in R com as operações usuais

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = l0 & a b & 0in M(2,2)mid a,binRr
com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, e nos pede para verificar que A é um subespaço vetorial de M(2,2), além de encontrar uma base e a dimensão de A.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de M(2,2) pertence a A. O zero de M(2,2) é
02times2 = 0 & 0 0 & 0,
que corresponde ao caso a=0 e b=0. Logo 02times2in A.

Passo 3

Mostramos que A é fechado sob soma. Sejam
X = 0 & a1 b1 & 0, Y = 0 & a2 b2 & 0
elementos de A. Então
X+Y = 0 & a1+a2 b1+b2 & 0,
onde a1+a2 e b1+b2 são reais, logo X+Yin A.

Passo 4

Mostramos que A é fechado sob multiplicação por escalar. Para lambdainR e
X = 0 & a b & 0in A,
temos
lambda X = 0 & lambda a lambda b & 0,
onde lambda a,lambda binR, logo lambda Xin A.

Passo 5

Como 02times2in A, A é fechado sob soma e escalar, inferimos que A é subespaço vetorial de M(2,2).

Passo 6

Para determinar uma base de A, note que qualquer Xin A pode ser escrito como
X = 0 & a b & 0 = a0 & 1 0 & 0 + b0 & 0 1 & 0
Definimos
E = 0 & 1 0 & 0, F = 0 & 0 1 & 0
Qualquer combinação linear de E e F dá um elemento de A, e E,F são LI porque
alpha E + beta F = 02times2 implies alpha=beta=0
Portanto E,F é base de A.

Passo 7

Como há exatamente dois vetores na base E,F, a dimensão de A é 2.

Resposta

A é subespaço vetorial de M(2,2).
Uma base de A é
l,0 & 1 0 & 0,;0 & 0 1 & 0r,
e dim(A)=2.

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