com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, e nos pede para verificar que é um subespaço vetorial de , além de encontrar uma base e a dimensão de .
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de pertence a . O zero de é
que corresponde ao caso a=0 e b=0. Logo 02times2in A.
Passo 3
Mostramos que A é fechado sob soma. Sejam
X = 0 & a1 b1 & 0, Y = 0 & a2 b2 & 0
elementos de A. Então
X+Y = 0 & a1+a2 b1+b2 & 0,
onde a1+a2 e b1+b2 são reais, logo X+Yin A.
Passo 4
Mostramos que A é fechado sob multiplicação por escalar. Para lambdainR e
X = 0 & a b & 0in A,
temos
lambda X = 0 & lambda a lambda b & 0,
onde lambda a,lambda binR, logo lambda Xin A.
Passo 5
Como 02times2in A, A é fechado sob soma e escalar, inferimos que A é subespaço vetorial de M(2,2).
Passo 6
Para determinar uma base de A, note que qualquer Xin A pode ser escrito como
X = 0 & a b & 0 = a0 & 1 0 & 0 + b0 & 0 1 & 0
Definimos
E = 0 & 1 0 & 0, F = 0 & 0 1 & 0
Qualquer combinação linear de E e F dá um elemento de A, e E,F são LI porque
alpha E + beta F = 02times2 implies alpha=beta=0
Portanto E,F é base de A.
Passo 7
Como há exatamente dois vetores na base E,F, a dimensão de A é 2.