Fixe uma orientão de
. Dada uma base ortonormal positiva
, calcule:
(1)
;
(2)
.
Conclua que o produto vetorial não é associativo, i.e., dados vetores
e
pode acontecer que:
(1)
(2)
Passo 1
O enunciado trabalha com o produto vetorial em
(ou num espaço vetorial real de dimensão 3) orientado pela base ortonormal positiva
. Para resolver, vamos usar as propriedades básicas do produto vetorial:
– anticomutatividade: ;
– cancelamento: ;
– regras usuais em relação à base:
– anticomutatividade:
– cancelamento:
– regras usuais em relação à base:
Passo 2
Calcular primeiro
. Como qualquer vetor cruz si próprio dá o vetor nulo, temos
Logo
Passo 3
Agora calculemos
. Primeiro note que
Então
Passo 4
Comparando os resultados:
Portanto mostramos que
em geral, ou seja, o produto vetorial não é associativo.
Resposta
(1)
(2)
Conclusão: o produto vetorial não é associativo.
(2)
Conclusão: o produto vetorial não é associativo.