Fixe uma orientão de V^3. Dada uma base ortonormal positiva (i, j, k), calcule:
(1) (j wed>= j) wed>= i;
(2) j wed>=(j wed>= i).
Conclua que o produto vetorial não é associativo, i.e., dados vetores u, v e w pode acontecer que:
(u wed>= v) wed>= w neq u wed>=(v wed>= w)

Passo 1

O enunciado trabalha com o produto vetorial em R^3 (ou num espaço vetorial real de dimensão 3) orientado pela base ortonormal positiva (i,j,k). Para resolver, vamos usar as propriedades básicas do produto vetorial:
– anticomutatividade: uwed>=v=-,vwed>=u;
– cancelamento: uwed>=u=0;
– regras usuais em relação à base:
iwed>=j=k, jwed>=k=i, kwed>=i=j

Passo 2

Calcular primeiro jwed>=j. Como qualquer vetor cruz si próprio dá o vetor nulo, temos
jwed>=j=0
Logo
(jwed>=j)wed>=i =0wed>=i =0

Passo 3

Agora calculemos jwed>=(jwed>=i). Primeiro note que
jwed>=i =-,l(iwed>=jr) =-,k
Então
jwed>=(jwed>=i) =jwed>=(-,k) =-,l(jwed>=kr) =-,i

Passo 4

Comparando os resultados:
(jwed>=j)wed>=i=0 neq -,i =jwed>=(jwed>=i)
Portanto mostramos que
(uwed>=v)wed>=w ;neq; uwed>=(vwed>=w)
em geral, ou seja, o produto vetorial não é associativo.

Resposta

(1) 0
(2) -i
Conclusão: o produto vetorial não é associativo.

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