Para quais valores de k in R a matriz S=[cccc0 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 & 0 1 & 1 & k & 3 2 & 0 & 3 & k] é singular (não inversível)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz quadrada S e queremos descobrir para quais valores de k essa matriz não tem inversa, ou seja, é singular. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de determinante de uma matriz. Para resolver isso, vamos calcular o determinante de S e encontrar os valores de k que fazem esse determinante ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz S :
S = 0 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 & 0 1 & 1 & k & 3 2 & 0 & 3 & k
Para calcular o determinante de uma matriz 4 times 4 , podemos usar a regra de Laplace ou outras técnicas de expansão. Mas uma forma mais rápida é utilizar propriedades de matrizes para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha. O determinante de S será:
det(S) = 0 cdot C11 - 0 cdot C12 + 1 cdot C13 - 2 cdot C14
Onde C1j são os cofatores da primeira linha. Como os dois primeiros termos são multiplicados por zero, sobraram apenas os últimos dois termos:
det(S) = 1 cdot C13 - 2 cdot C14

Passo 4

Agora, vamos calcular os cofatores C13 e C14 .
Para C13 :
C13 = (-1)^1+3 cdot det( 0 & 1 & 0 1 & k & 3 2 & 3 & k ) = -det( 0 & 1 & 0 1 & k & 3 2 & 3 & k )
Calculando esse determinante de 3 times 3 :
det( 0 & 1 & 0 1 & k & 3 2 & 3 & k ) = 0 cdot (k cdot k - 3 cdot 3) - 1 cdot (1 cdot k - 3 cdot 2) + 0 cdot (1 cdot 3 - k cdot 2) = - (k - 6)
Então:
C13 = -( - (k - 6)) = k - 6
Para C14 :
C14 = (-1)^1+4 cdot det( 0 & 1 & 2 1 & 1 & 3 2 & 0 & k ) = det( 0 & 1 & 2 1 & 1 & 3 2 & 0 & k )
Calculando esse determinante de 3 times 3 :
det( 0 & 1 & 2 1 & 1 & 3 2 & 0 & k ) = 0 cdot (1 cdot k - 3 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot k - 3 cdot 2) + 2 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 2) = - (k - 6) + 2 cdot (-2) = -k + 6 - 4 = -k + 2
Então:
C14 = -k + 2

Passo 5

Agora, substituímos os cofatores na expressão do determinante de S :
det(S) = 1 cdot (k - 6) - 2 cdot (-k + 2) = k - 6 + 2k - 4 = 3k - 10

Passo 6

Para que a matriz S seja singular, o determinante deve ser zero:
3k - 10 = 0
Resolvendo para k :
3k = 10 implies k = 103

Resposta

A matriz S é singular quando k = 103 .

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