Fixada uma orientação de , determine , sabendo que:
(1) O ângulo entre e mede ;
(2) é ortogonal a e a ;
(3) e ;
(4) é base positiva de .
Passo 1
O enunciado pede o produto misto em um espaço vetorial orientado de dimensão 3. Sabemos que , o ângulo entre e é , que é ortogonal a e e que . Além disso, forma uma base de orientação positiva.
Passo 2
Para calcular , usamos a fórmula da área do paralelogramo gerado por e :
Passo 3
O valor absoluto do produto misto é a área da base vezes a “altura” (que aqui é , pois é perpendicular à base):
Passo 4
Como (vec u,vec v,vec w) tem orientação positiva, o sinal do produto misto é positivo. Portanto,