Fixada uma orientação de V^3, determine [u, v, w], sabendo que:
(1) O ângulo entre u e v mede pi6;
(2) w é ortogonal a u e a v;
(3) |u|=1,|v|=1 e |w|=4;
(4) (u, v, w) é base positiva de V^3.

Passo 1

O enunciado pede o produto misto [vec u,vec v,vec w] em um espaço vetorial orientado de dimensão 3. Sabemos que |vec u|=|vec v|=1, o ângulo entre vec u e vec v é pi/6, que vec w é ortogonal a vec u e vec v e que |vec w|=4. Além disso, (vec u,vec v,vec w) forma uma base de orientação positiva.

Passo 2

Para calcular |vec utimesvec v|, usamos a fórmula da área do paralelogramo gerado por vec u e vec v:
|vec utimesvec v| = |vec u|;|vec v|;sinl(ang<=(vec u,vec v)r) = 1cdot1cdotsin!l(tfracpi6r) = tfrac12

Passo 3

O valor absoluto do produto misto é a área da base vezes a “altura” (que aqui é |vec w|, pois vec w é perpendicular à base):
l|[vec u,vec v,vec w]r| = |vec utimesvec v|;|vec w| = tfrac12cdot4 = 2

Passo 4

Como (vec u,vec v,vec w) tem orientação positiva, o sinal do produto misto é positivo. Portanto,
[vec u,vec v,vec w] = +2

Resposta

2

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