A=[ccc a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 ]
seja igual ao plano pi do R^3 dado pela equação 2 X1+3 X2-X3=0. Com base nisso, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Pode-se afirmar que o vetor v do R^3 dado por
v^top=[llll 1 & 1 & 1 & 1 ][lll a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 ]
pertence ao plano pi.

Passo 1

O enunciado nos diz que temos a matriz
A= a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43
cujas quatro linhas são vetores de R^3 que pertencem ao plano
pi:;2X1+3X2-X3=0
Precisamos decidir se o vetor
v^top = [1;1;1;1];A
também pertence a pi. O conteúdo aqui é subespaços em R^3 e o uso de combinação linear de vetores.

Passo 2

Repare que a equação de pi é homogênea ( 2X1+3X2-X3=0), logo pi é um subespaço de R^3. Por ser subespaço, pi é fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar. Em particular, se uinpi e winpi, então u+winpi.

Passo 3

As quatro linhas de A, digamos a1,a2,a3,a4, estão em pi. O vetor
v=a1+a2+a3+a4
é exatamente a combinação linear com coeficientes todos igual a 1. Pela propriedade de fechamento de pi sob soma, concluímos que vinpi.

Resposta

(a) Verdadeira.

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