Considere o espaço vetorial C(R ; R) das funções contínuas f: R R. Mostre que as seguintes funções de C(R ; R) são L.I.:
(c) sin t, cos t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções sin t e cos t em C(R;R) são linearmente independentes.
Conteúdo: definição de independência linear em espaços de funções. Ou seja, provar que, se existem escalares a,binR tais que
a,sin t + b,cos t = 0para todo tinR,
então obrigatoriamente a=0 e b=0.

Passo 2

Suponha
labeleq1a,sin t + b,cos t = 0forall,t
Escolhendo t=0 em eqrefeq1 obtemos
a,sin(0) + b,cos(0) = 0
como sin(0)=0 e cos(0)=1, segue
b = 0

Passo 3

Com b=0, a relação eqrefeq1 fica
a,sin t = 0forall,t
Agora escolha t = tfracpi2. Como sinl(tfracpi2r)=1, obtemos
a cdot 1 = 0 Longrightarrow a = 0

Resposta

As únicas constantes a e b que satisfazem asin t + bcos t = 0 para todo t são a=0 e b=0. Portanto sin t e cos t são linearmente independentes em C(R;R).

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