Considere o espaço vetorial
das funções contínuas
. Mostre que as seguintes funções de
são L.I.:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
em
são linearmente independentes.
Conteúdo: definição de independência linear em espaços de funções. Ou seja, provar que, se existem escalares tais que
Conteúdo: definição de independência linear em espaços de funções. Ou seja, provar que, se existem escalares
então obrigatoriamente
e
.
Passo 2
Suponha
Escolhendo
em
obtemos
como
e
, segue
Passo 3
Com
, a relação
fica
Agora escolha
. Como
, obtemos
Resposta
As únicas constantes
e
que satisfazem
para todo
são
e
. Portanto
e
são linearmente independentes em
.