Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(c) Pode-se afirmar que v4 in >=r[v1, v2, v3], e que v5 in >=r[v1, v2, v3].
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 a & b & c & d & e & f g & h & i & j & l & m
cujo posto é 3. As linhas de A são os vetores v1,dots,v5 em R^6. Queremos decidir se v4 e v5 pertencem ao espaço gerado por v1,v2,v3. Vamos usar os conceitos de posto (dimensão do espaço das linhas) e geração (span).
Passo 2
Verificamos que v1, v2, v3 são linearmente independentes. De fato, se
alpha cdot v1 + beta cdot v2 + gamma cdot v3 = 0,
analisando coordenada a coordenada vemos:
na 1^ªª coordenada: 2alpha = 0 Rightarrow alpha = 0.
na 3^ªª coordenada: 3beta - 2gamma = 0 Rightarrow gamma = 0.
Logo só há a combinação trivial, e diml(spanv1, v2, v3r) = 3.
Passo 3
Como o posto de A é 3, a dimensão do espaço gerado por todas as suas linhas é 3. E já temos três linhas independentes (v1,v2,v3), portanto estas três linhas formam uma base do espaço-linha de A. Consequentemente, qualquer outra linha de A — em particular v4 e v5 — deve ser combinação linear de v1,v2,v3.