Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(b) Pode-se afirmar que v4 e v5 são L.D.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho 5times6 cujo posto (row rank) vale 3. As linhas de A são os vetores v1,dots, v5 em R^6. A afirmação (b) diz que v4 e v5 são linearmente dependentes.
Passo 2
Lembrando que dois vetores v4 e v5 em R^6 são linearmente dependentes se, e somente se, um deles for múltiplo escalar do outro, ou seja, existir alphain R tal que
v4 = alpha, v5
Passo 3
O posto igual a 3 significa que há exatamente 3 linhas de A linearmente independentes e as outras 2 são combinações lineares dessas. Isso garante que qualquer conjunto de 4 ou 5 linhas seja necessariamente dependente, mas não diz nada sobre subconjuntos de tamanho 2. Conjuntos de 2 vetores podem ser independentes (posto desse subconjunto =2) ou dependentes (posto =1), depende das escolhas de a,b,dots,m.
Passo 4
Como v4 e v5 formam um conjunto de apenas 2 vetores, não há informação suficiente para afirmar sempre que eles sejam dependentes: podemos ajustar os parâmetros de modo que eles fiquem independentes. Logo, a afirmação de que “ v4 e v5 são L.D.” não é válida em geral.