Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(k) integral0^pi2 tan x d x
(v) integral-infty^0 x e^-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência dos seguintes integrais impróprios: integral0^pi/2 tan x,dx e integral-infty^0 x e^-2x,dx. Vamos usar definição de integral imprópria, tratar singularidade ou limite infinito e calcular limites de antiderivadas.

Passo 2

Para integral0^pi/2 tan x,dx, observamos que tan x=dfracsin xcos x possui assíntota em x=pi/2. Escrevemos limbtopi2^-integral0^btan x,dx. A antiderivada é
integral tan x,dx = -ln|cos x| + C
Logo,
integral0^btan x,dx = -ln|cos b| + ln|cos 0| = -ln(cos b)
Como btopi2^- faz cos bto 0^+ e, portanto, -ln(cos b)to +infty, concluímos que o integral diverge.

Passo 3

Para integral-infty^0 x e^-2x,dx, o problema vem do limite xto -infty. Definimos limato -inftyintegrala^0 x e^-2x,dx e usamos integração por partes com
u = x, & dv = e^-2x,dx, du = dx, & v = -tfrac12 e^-2x
Assim,
integral x e^-2x,dx = -tfrac12 x e^-2x + tfrac12 integral e^-2x,dx = -tfrac12 x e^-2x - tfrac14 e^-2x + C = -tfrac14(2x+1)e^-2x + C
Avaliando de a a 0
-tfrac14 + tfrac14(2a+1)e^-2a
Quando ato -infty, e^-2a=e^2|a| cresce mais rápido que |2a+1|, fazendo o termo tfrac14(2a+1)e^-2ato -infty. Portanto o integral diverge.

Resposta

(k) divergente; (v) divergente.

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