Se a cdot b=0, isto quer dizer que a e b são perpendiculares entre si? Se a cdot b=a cdot c, isso quer dizer que b=c ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas afirmações sobre produtos escalares entre vetores:
  1. Se a cdot b = 0, isso significa que a e b são perpendiculares?
  2. Se a cdot b = a cdot c, isso implica que b = c?
Vamos lembrar que produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores e que as propriedades desse produto nos ajudarão a responder essas perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa o produto escalar ser zero. O produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde |a| e |b| são os comprimentos dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Se a cdot b = 0, então:
|a| cdot |b| cdot cos(theta) = 0
Como os comprimentos dos vetores são sempre positivos (a menos que um vetor seja o vetor nulo, que não está sendo considerado aqui), a única maneira de o produto ser zero é se cos(theta) = 0.

Passo 4

Sabendo que cos(theta) = 0, qual o valor de theta? O cosseno é zero quando o ângulo é 90^circ ou pi/2 radianos. Portanto, a e b formam um ângulo de 90^circ, ou seja, são perpendiculares.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte da questão: se a cdot b = a cdot c, isso implica que b = c?
Não necessariamente. O fato de os produtos escalares serem iguais significa que:
|a| cdot |b| cdot cos(theta1) = |a| cdot |c| cdot cos(theta2)
Onde theta1 é o ângulo entre a e b, e theta2 é o ângulo entre a e c.

Passo 6

Mesmo que esses produtos sejam iguais, isso não garante que b e c sejam o mesmo vetor. Pode ser que b e c tenham direções ou magnitudes diferentes, mas configuradas de forma que o produto escalar com a resulte no mesmo valor.
Por exemplo, se a estiver perpendicular a ambos b e c, então a cdot b = 0 = a cdot c, mas b e c podem ser vetores diferentes.

Resposta

  1. Sim, se a cdot b = 0, então a e b são perpendiculares entre si.
  2. Não, se a cdot b = a cdot c, isso não implica que b = c.

Exercícios relacionados