Se
, isto quer dizer que
e
são perpendiculares entre si? Se
, isso quer dizer que
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas afirmações sobre produtos escalares entre vetores:
- Se
, isso significa que e são perpendiculares? - Se
, isso implica que ?
Vamos lembrar que produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores e que as propriedades desse produto nos ajudarão a responder essas perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa o produto escalar ser zero. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Onde
e
são os comprimentos dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Se
, então:
Como os comprimentos dos vetores são sempre positivos (a menos que um vetor seja o vetor nulo, que não está sendo considerado aqui), a única maneira de o produto ser zero é se
.
Passo 4
Sabendo que
, qual o valor de
? O cosseno é zero quando o ângulo é
ou
radianos. Portanto,
e
formam um ângulo de
, ou seja, são perpendiculares.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da questão: se
, isso implica que
?
Não necessariamente. O fato de os produtos escalares serem iguais significa que:
Onde
é o ângulo entre
e
, e
é o ângulo entre
e
.
Passo 6
Mesmo que esses produtos sejam iguais, isso não garante que
e
sejam o mesmo vetor. Pode ser que
e
tenham direções ou magnitudes diferentes, mas configuradas de forma que o produto escalar com
resulte no mesmo valor.
Por exemplo, se
estiver perpendicular a ambos
e
, então
, mas
e
podem ser vetores diferentes.
Resposta
- Sim, se
, então e são perpendiculares entre si. - Não, se
, isso não implica que .