(5,0) O espectro rotacional do ácido iodídrico (HF) consiste de um conjunto de linhas separadas por 41,912 cm^-1 (2B, onde B é a constante rotacional).
(5,0) Utilizando o modelo de rotor rígido, obtenha os valores do momento de inércia (I) e da distância interatômica ® para o HF;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espectro rotacional do ácido fluorídrico (HF) e nos pede para calcular o momento de inércia (I) e a distância entre os átomos ® usando o modelo de rotor rígido. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espectros rotacionais, constantes rotacionais e como relacionar essas coisas para encontrar I e r.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a separação entre as linhas do espectro rotacional é dada por $ \Delta \nu = 2B $, onde $ B $ é a constante rotacional. No nosso caso, $ \Delta \nu = 41,912 , cm^{-1} $. Então, podemos encontrar $ B $ dividindo esse valor por 2.

Passo 3

Vamos calcular $ B $:
B

Passo 4

Agora, sabemos que a constante rotacional $ B $ está relacionada ao momento de inércia $ I $ pela fórmula:
B
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J·s $)
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{10} , cm/s $)
Queremos isolar $ I $, então rearranjamos a fórmula:
I

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
I = 6,626 times 10^-34 , J·s8 pi^2 times 3,00 times 10^10 , cm/s times 20,956 , cm^-1
Primeiro, calculamos o denominador:
8 pi^2 times 3,00 times 10^10 times 20,956 approx 1,583 times 10^13
Então:
I approx 6,626 times 10^-341,583 times 10^13 approx 4,18 times 10^-47 , kg·m^2
(Note que convertemos $ cm^{-1} $ para unidades SI adequadas.)

Passo 6

Agora, para encontrar a distância interatômica $ r $, usamos a relação entre o momento de inércia $ I $, a massa reduzida $ \mu $ e a distância $ r $:
r
A massa reduzida $ \mu $ é dada por:
I
Onde $ m_H $ e $ m_F $ são as massas dos átomos de hidrogênio e flúor, respectivamente.

Passo 7

As massas atômicas são aproximadamente:
mH = 1,00784 , u e mF = 18,998 , u
Convertendo para kg ($ 1 , u = 1,66054 \times 10^{-27} , kg $):
1 , u = 1,66054 times 10^-27 , kg
mH = 1,00784 times 1,66054 times 10^-27 approx 1,673 times 10^-27 , kg
Calculando $ \mu $:
mF = 18,998 times 1,66054 times 10^-27 approx 3,162 times 10^-26 , kg
Agora, isolamos $ r $ na equação $ I = \mu r^{2} $:
mu
Convertendo para angstroms ($ 1 , Å = 10^{-10} , m $):
mu = 1,673 times 10^-27 times 3,162 times 10^-261,673 times 10^-27 + 3,162 times 10^-26 approx 1,568 times 10^-27 , kg Å

Resposta

O momento de inércia $ I $ do HF é aproximadamente $ 4,18 \times 10^{-47} , kg·m^{2} $ e a distância interatômica $ r $ é cerca de $ 0,5165 , Å $.

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