Dados dois vetores a=2 i-j e b=i-j, determine o módulo e a direção de a, de b, de (a-b), de (a+b) e de ( b-a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores:
  • a = 2 i - j
  • b = i - j
O que a gente precisa fazer é encontrar o módulo (ou seja, o comprimento) e a direção de cada um desses vetores, assim como das combinações a - b, a + b e b - a. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de álgebra vetorial, como a magnitude de um vetor e a fórmula para a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de a. A fórmula para o módulo de um vetor v = vx i + vy j é:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso para a:
|a| = raiz(2)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Então, o módulo de a é raiz5.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a direção de a. A direção de um vetor é o ângulo que ele forma com o eixo positivo das x. Podemos usar a função tangente inversa (arctan) para isso:
theta = arctan(vyvx)
Para a:
thetaa = arctan(-12)
Calculando isso, temos:
thetaa approx -26,57^circ
Isso significa que a está inclinado 26,57^circ abaixo do eixo x.

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para o vetor b = i - j.
Primeiro, o módulo de b:
|b| = raiz(1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, o módulo de b é raiz2.

Passo 5

Agora, a direção de b:
thetab = arctan(-11) = arctan(-1) approx -45^circ
Isso indica que b está inclinado 45^circ abaixo do eixo x.

Passo 6

Agora vamos calcular as combinações dos vetores. Vamos começar com a - b:
a - b = (2i - j) - (i - j) = (2 - 1)i + (-1 + 1)j = i + 0j = i
Então, a - b = i.
Agora, o módulo de a - b:
|a - b| = raiz(1)^2 + (0)^2 = raiz1 = 1
E a direção:
Como o vetor é i, ele está completamente no eixo x, então a direção é 0^circ.

Passo 7

Vamos agora para a + b:
a + b = (2i - j) + (i - j) = (2 + 1)i + (-1 - 1)j = 3i - 2j
Então, a + b = 3i - 2j.
Módulo de a + b:
|a + b| = raiz(3)^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Direção:
thetaa+b = arctan(-23) approx -33,69^circ
Isso significa que a + b está inclinado aproximadamente 33,69^circ abaixo do eixo x.

Passo 8

Finalmente, vamos calcular b - a:
b - a = (i - j) - (2i - j) = (1 - 2)i + (-1 + 1)j = -i + 0j = -i
Então, b - a = -i.
Módulo de b - a:
|b - a| = raiz(-1)^2 + (0)^2 = raiz1 = 1
Direção:
Como o vetor é -i, ele está completamente no eixo x, mas na direção negativa, então a direção é 180^circ.

Resposta

Módulos e Direções:
  • |a| = raiz5, direção -26,57^circ.
  • |b| = raiz2, direção -45^circ.
  • |a - b| = 1, direção 0^circ.
  • |a + b| = raiz13, direção -33,69^circ.
  • |b - a| = 1, direção 180^circ.

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