Se f(x, y, z)=z-e^{x} \cdot \operatorname{sen}(y), encontre (a) O valor de \nabla f(x, y, z), no ponto P=\left(\operatorname{Ln}(3) ; \frac{3 \pi}{2} ;-3\right) e (b) A derivada direcional D_{0} f(x, y, z), no ponto P=\left(\operatorname{Ln}(3) ; \frac{3 \pi}{2} ;-3\right) na direção do vetor unitário \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\frac{2}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{i}}+\left(\frac{3}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{j}}+\left(\frac{6}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{k}}.
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis
f(x,y,z)=z - e^{x}\sin(y)
e pede (a) o gradiente \nabla f(x,y,z) no ponto
P=\bigl(\ln(3),\,\tfrac{3\pi}{2},\,-3\bigr)
e (b) a derivada direcional de f em P ao longo do vetor unitário
Para isso vamos usar (i) definição de gradiente como vetor das derivadas parciais e (ii) derivada direcional como produto escalar entre gradiente e \vec{u}.