1. Se f(x, y, z)=z-e^{x} \cdot \operatorname{sen}(y), encontre (a) O valor de \nabla f(x, y, z), no ponto P=\left(\operatorname{Ln}(3) ; \frac{3 \pi}{2} ;-3\right) e (b) A derivada direcional D_{0} f(x, y, z), no ponto P=\left(\operatorname{Ln}(3) ; \frac{3 \pi}{2} ;-3\right) na direção do vetor unitário \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\frac{2}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{i}}+\left(\frac{3}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{j}}+\left(\frac{6}{7}\right) \overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
f(x,y,z)=z - e^{x}\sin(y)
e pede (a) o gradiente \nabla f(x,y,z) no ponto
P=\bigl(\ln(3),\,\tfrac{3\pi}{2},\,-3\bigr)
e (b) a derivada direcional de f em P ao longo do vetor unitário
\vec{u}=\Bigl(\tfrac{2}{7},\,\tfrac{3}{7},\,\tfrac{6}{7}\Bigr).
Para isso vamos usar (i) definição de gradiente como vetor das derivadas parciais e (ii) derivada direcional como produto escalar entre gradiente e \vec{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = -e^{x}\sin(y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{x}\cos(y), \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 1.
Portanto,
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(-e^{x}\sin(y),\,-e^{x}\cos(y),\,1\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em
P=\bigl(\ln(3),\,\tfrac{3\pi}{2},\,-3\bigr).
Temos e^{\ln(3)}=3, \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1 e \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P} = -3\cdot(-1)=3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P} = -3\cdot0=0, \quad \frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P} =1.
Assim,
\nabla f(P)=(3,\,0,\,1).

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de \vec{u} é dada por
D_{\vec{u}}f(P) =\nabla f(P)\cdot\vec{u}.
Substituindo \nabla f(P)=(3,0,1) e \vec{u}=(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}),
D_{\vec{u}}f(P) =3\cdot\tfrac{2}{7}+0\cdot\tfrac{3}{7}+1\cdot\tfrac{6}{7} =\tfrac{6+6}{7} =\tfrac{12}{7}.

Resposta

(a) \nabla f(P)=(3,\,0,\,1).
(b) D_{\vec{u}}f(P)=\tfrac{12}{7}.

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