Sejam as funções reais g(x)=2 x+3, definida para todo x \in \mathbb{R}, e
g(f(x))=\frac{2 x+5}{x+1}
definida para todo x \in \mathbb{R} com x \neq-1. Calcule f\left(-\frac{12}{15}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
g(x)=2x+3
e informa que
g\bigl(f(x)\bigr)=\frac{2x+5}{x+1},\quad x\neq -1.
O objetivo é calcular f\bigl(-\tfrac{12}{15}\bigr). Vamos usar a definição de composição e inverter a relação para achar f(x), depois avaliar em x=-\tfrac{12}{15}.

Passo 2

Da composição temos
g\bigl(f(x)\bigr)=2\,f(x)+3=\frac{2x+5}{x+1}.
Isolamos f(x):
2\,f(x)=\frac{2x+5}{x+1}-3 =\frac{2x+5-3(x+1)}{x+1} =\frac{2x+5-3x-3}{x+1} =\frac{-x+2}{x+1}.

Passo 3

Dividindo por 2, obtemos a expressão fechada de f(x):
f(x)=\frac{-x+2}{2(x+1)}=\frac{2-x}{2(x+1)}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=-\tfrac{12}{15}=-\tfrac{4}{5}:
f\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr) =\frac{2-(-\tfrac{4}{5})}{2\bigl(-\tfrac{4}{5}+1\bigr)} =\frac{2+\tfrac{4}{5}}{2\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)} =\frac{\tfrac{10}{5}+\tfrac{4}{5}}{\tfrac{2}{5}} =\frac{\tfrac{14}{5}}{\tfrac{2}{5}} =\frac{14}{5}\cdot\frac{5}{2} =7.

Resposta

7

Exercícios relacionados