Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:
f(t)=t^{2} \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^{2}\sin t. O conteúdo envolve a propriedade da transformada de Laplace que relaciona multiplicação por t^{n} no tempo com derivadas em s. Para isso, vamos usar a transformada de \sin t e a regra de derivação em s.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
E a regra geral diz que, para F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s),
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\,\frac{d^{n}}{ds^{n}}\bigl[F(s)\bigr].
No nosso caso, n=2 e F(s)=1/(s^{2}+1), logo
\mathcal{L}\{t^{2}\sin t\}(s) =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\!\Bigl[\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr].

Passo 3

Defina g(s)=(s^{2}+1)^{-1}. Então
g'(s)=-1\cdot(s^{2}+1)^{-2}\cdot2s=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Derivando novamente,
g''(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(-2s\,(s^{2}+1)^{-2}\Bigr) =\frac{-2\,(s^{2}+1)^{2}-(-2s)\,2\,(s^{2}+1)\,2s}{(s^{2}+1)^{4}} =\frac{2(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Passo 4

Portanto,
\mathcal{L}\{t^{2}\sin t\}(s) =\;g''(s) =\frac{2\,(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\sin t\}(s)=\frac{2\,(3s^{2}-1)}{(s^{2}+1)^{3}}.

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