Seja
o conjunto de todas as funções
. Defina em
a seguinte relação
:
Mostre que
é uma relação de equivalência.
(a) Descreva as classes de equivalência.
(a) Descreva as classes de equivalência.
Passo 1
O enunciado trabalha no conjunto
de todas as funções
e define a relação
Queremos mostrar que
é reflexiva, simétrica e transitiva (ou seja, é relação de equivalência) e em seguida descrever as suas classes de equivalência.
Passo 2
Reflexividade. Para qualquer
, basta tomar o constante
. Então
logo
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Simetria. Suponha
. Então existe
tal que
Reescrevendo,
para todo
. Como
, concluímos
. Assim
é simétrica.
Passo 4
Transitividade. Suponha
e
. Então existem
tais que
Compondo,
e
. Logo
, provando a transitividade de
.
Passo 5
Descrição das classes de equivalência. Fixe uma função
. A sua classe de equivalência é
Em outras palavras, cada classe é o conjunto de todas as funções que diferem de
por uma constante (deslocamento vertical).
Resposta
A relação
é de equivalência, e para cada
a sua classe de equivalência é