Seja \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) o conjunto de todas as funções f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}. Defina em \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) a seguinte relação R :
f R g \Longleftrightarrow \exists c \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=g(x)+c
Mostre que R é uma relação de equivalência.
(a) Descreva as classes de equivalência.

Passo 1

O enunciado trabalha no conjunto \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) de todas as funções f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e define a relação
f\,R\,g \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,c\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ \forall x\in\mathbb{R},\;f(x)=g(x)+c.
Queremos mostrar que R é reflexiva, simétrica e transitiva (ou seja, é relação de equivalência) e em seguida descrever as suas classes de equivalência.

Passo 2

Reflexividade. Para qualquer f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), basta tomar o constante c=0. Então
\forall x,\;f(x)=f(x)+0,
logo f\,R\,f. Portanto R é reflexiva.

Passo 3

Simetria. Suponha f\,R\,g. Então existe c\in\mathbb{R} tal que
\forall x,\;f(x)=g(x)+c.
Reescrevendo, g(x)=f(x)-c para todo x. Como -c\in\mathbb{R}, concluímos g\,R\,f. Assim R é simétrica.

Passo 4

Transitividade. Suponha f\,R\,g e g\,R\,h. Então existem c_1,c_2\in\mathbb{R} tais que
f(x)=g(x)+c_1 \quad\text{e}\quad g(x)=h(x)+c_2 \quad\text{para todo }x.
Compondo,
f(x)=\bigl(h(x)+c_2\bigr)+c_1 =h(x)+(c_1+c_2),
e c_1+c_2\in\mathbb{R}. Logo f\,R\,h, provando a transitividade de R.

Passo 5

Descrição das classes de equivalência. Fixe uma função f. A sua classe de equivalência é
[f] =\bigl\{\,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid \exists\,c\in\mathbb{R}\\ \forall x,\;g(x)=f(x)+c\bigr\}.
Em outras palavras, cada classe é o conjunto de todas as funções que diferem de f por uma constante (deslocamento vertical).

Resposta

A relação R é de equivalência, e para cada f\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) a sua classe de equivalência é
[f] =\bigl\{\,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid g(x)=f(x)+c\text{ para algum }c\in\mathbb{R}\bigr\}.

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