(Cefet-MG) Paraqueos polinômios x^4+a x^3+b x^2+x+ +3 e x^3+a x^2+2 b x+1 sejam ambos divisíveis por x+1, o produto dos números a e b deve ser igual a
a) -24
b) -209
c) 3
d) 15
e) 18

Passo 1

Resumo: temos os polinômios
p1(x)=x^4 + a x^3 + b x^2 + x +3
e
p2(x)=x^3 + a x^2 + 2b x +1
e queremos que ambos sejam divisíveis por x+1. Pelo Teorema do Resto, isso equivale a exigir
p1(-1)=0 e p2(-1)=0

Passo 2

Calcular p1(-1):
p1(-1)=(-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1)^2 +(-1)+3 =1 -a + b -1 +3 = b - a +3
Para ser zero,
b - a +3 = 0
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a = b + 3

Passo 3

Calcular p2(-1):
p2(-1)=(-1)^3 + a(-1)^2 + 2b(-1) +1 =-1 + a -2b +1 = a -2b
Igualando a zero,
a -2b = 0
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a = 2b

Passo 4

Resolvendo o sistema
a = b +3, a = 2b,
iguais as duas expressões de a
b +3 = 2b Rightarrow b = 3
Substituindo em a = 2b resulta em
a = 6

Passo 5

O produto procurado é
a,b = 6 times 3 = 18

Resposta

e) 18

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