(U.F. Ouro Preto-MG) O resto da divisão do polinômio p(x)=x^99-2 x+3 pelo polinômio q(x)=x^2-1 é:
a) -x+3
b) 6
c) 8
d) 3 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a divisão de polinômios, especificamente sobre encontrar o resto da divisão de p(x) = x^99 - 2x + 3 pelo polinômio q(x) = x^2 - 1 . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a divisão de polinômios e como encontrar o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, lembra que quando dividimos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) , obtemos um quociente d(x) e um resto r(x) que tem grau menor que o grau de q(x) . No nosso caso, como q(x) = x^2 - 1 é de grau 2, o resto r(x) deve ser de grau 1 ou menos, ou seja, algo na forma r(x) = ax + b .

Passo 3

Agora, para encontrar os valores de a e b , vamos usar os valores das raízes de q(x) . As raízes de q(x) = x^2 - 1 são x = 1 e x = -1 (porque x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ). Vamos calcular p(1) e p(-1) :
p(1) = (1)^99 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
p(-1) = (-1)^99 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Passo 4

Sabemos que p(x) = q(x) cdot d(x) + r(x) . Então, avaliando em x = 1 :
p(1) = q(1) cdot d(1) + r(1)
Como q(1) = 0 , temos p(1) = r(1) . Portanto, r(1) = 2 .
De maneira similar, avaliando em x = -1 :
p(-1) = q(-1) cdot d(-1) + r(-1)
Como q(-1) = 0 , temos p(-1) = r(-1) . Portanto, r(-1) = 4 .

Passo 5

Agora, sabemos que r(x) = ax + b , então podemos escrever:
Para x = 1 :
a(1) + b = 2 Rightarrow a + b = 2 \quad (1)
Para x = -1 :
a(-1) + b = 4 Rightarrow -a + b = 4 \quad (2)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
Primeira equação:
a + b = 2 \quad (1)
Segunda equação:
-a + b = 4 \quad (2)
Somando as duas equações:
(a + b) + (-a + b) = 2 + 4
2b = 6
b = 3
Substituindo o valor de b na equação (1):
a + 3 = 2
a = -1

Resposta

O resto da divisão é boxed-x + 3 , ou seja, a alternativa a).

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