(U. E. Londrina-PR) Na divisão do polinômio x^4+ +x^3-7 x^2+x+9 por x^2+2 x+1 pode-se afirmar que:
a) o quociente é -x^2+x+6
b) o quociente é x^2-x+6
c) o resto da divisão é 15
d) o resto da divisão é 14 x+15
e) a divisão é exata, isto é, o resto é 0

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=x^4+x^3-7x^2+x+9
pelo polinômio
g(x)=x^2+2x+1
O conteúdo aplicado é o algoritmo da divisão de polinômios, que fornece um quociente Q(x) e um resto R(x) com deg R<deg g=2.

Passo 2

Dividimos o termo de maior grau de f(x) pelo termo de maior grau de g(x):
x^4x^2=x^2
Multiplicamos x^2 por g(x) e subtraímos de f(x):
x^2cdot(x^2+2x+1)=x^4+2x^3+x^2,
(x^4+x^3-7x^2)-(x^4+2x^3+x^2)=-x^3-8x^2
Baixamos os termos restantes (+x+9), obtendo
-x^3-8x^2+x+9

Passo 3

Agora dividimos o novo termo de maior grau pelo termo de maior grau de g(x):
-x^3x^2=-x
Multiplicamos -x por g(x) e subtraímos:
-xcdot(x^2+2x+1)=-x^3-2x^2-x,
(-x^3-8x^2+x)-(-x^3-2x^2-x)=-6x^2+2x
Baixamos o +9, ficando
-6x^2+2x+9

Passo 4

Finalmente, dividimos -6x^2 por x^2:
-6x^2x^2=-6
Multiplicamos e subtraímos para obter o resto:
-6cdot(x^2+2x+1)=-6x^2-12x-6,
(-6x^2+2x+9)-(-6x^2-12x-6)=14x+15
Logo o quociente é
Q(x)=x^2-x-6
e o resto é
R(x)=14x+15

Resposta

A opção correta é a (d): o resto da divisão é 14x+15.

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