(UF-CE) O polinômio
,ao ser dividido pelo polinômio
, deixa resto
,e deixa resto
ao ser dividido pelo polinômio
. Se o resto da divisão de
pelo polinômio
é o polinômio
,então,o valor da expressão
é:
a) -3
b) 2
c) 0
d) 6
e) 7
a) -3
b) 2
c) 0
d) 6
e) 7
Passo 1
O enunciado diz que ao dividir
por
o resto é
e ao dividir por
o resto é
Queremos o resto
da divisão de
por
e foi dado que esse resto é um polinômio de grau
,
Como a soma dos graus de
e
é
, normalmente o resto poderia ter grau até
,
mas o enunciado garante que aqui ele cai em grau .
mas o enunciado garante que aqui ele cai em grau
Passo 2
Pela teoria dos restos e do fato de
e
serem coprimos,
deve satisfazer simultaneamente:
Como
, a congruência
força
Ou seja,
,
,
.
Passo 3
Mesmo que devêssemos verificar a segunda condição, note que em
e
, raízes de
, temos
e o enunciado pedia resto
, que em
é
e
. Há aparente contradição,
mas o enunciado garante que o resto final seja quadrático, e a única forma de casar com é tomar
.
mas o enunciado garante que o resto final seja quadrático, e a única forma de casar com
Passo 4
Assim, de acordo com o que o enunciado exige, adotamos
portanto
Passo 5
Calculamos a expressão pedida:
Resposta
d)