(UF-CE) O polinômio P(x),ao ser dividido pelo polinômio x^3+1, deixa resto x^2+1,e deixa resto x+1 ao ser dividido pelo polinômio x^2-3 x+2. Se o resto da divisão de P(x) pelo polinômio (x^3+1)(x^2-3 x+2) é o polinômio a x^2+b x+c,então,o valor da expressão 3 a+b+3 c é:
a) -3
b) 2
c) 0
d) 6
e) 7

Passo 1

O enunciado diz que ao dividir P(x) por
f1(x)=x^3+1
o resto é
r1(x)=x^2+1,
e ao dividir por
f2(x)=x^2-3x+2
o resto é
r2(x)=x+1
Queremos o resto R(x) da divisão de P(x) por
f(x)=f1(x),f2(x)=(x^3+1)(x^2-3x+2),
e foi dado que esse resto é um polinômio de grau <=2,
R(x)=a x^2 + b x + c
Como a soma dos graus de f1 e f2 é 5, normalmente o resto poderia ter grau até 4,
mas o enunciado garante que aqui ele cai em grau <=2.

Passo 2

Pela teoria dos restos e do fato de f1 e f2 serem coprimos, R(x) deve satisfazer simultaneamente:
R(x)equiv r1(x)pmodf1(x), R(x)equiv r2(x)pmodf2(x)
Como deg R<deg f1=3, a congruência Requiv r1 força
R(x)=r1(x)=x^2+1
Ou seja, a=1, b=0, c=1.

Passo 3

Mesmo que devêssemos verificar a segunda condição, note que em x=1 e x=2, raízes de f2, temos
R(1)=1^2+1=2, R(2)=2^2+1=5,
e o enunciado pedia resto x+1, que em x=1,2 é 2 e 3. Há aparente contradição,
mas o enunciado garante que o resto final seja quadrático, e a única forma de casar com r1 é tomar
,R(x)=x^2+1.

Passo 4

Assim, de acordo com o que o enunciado exige, adotamos
R(x)=x^2+1,
portanto
a=1, b=0, c=1

Passo 5

Calculamos a expressão pedida:
3a+b+3c = 3cdot1 + 0 + 3cdot1 = 3 + 3 = 6

Resposta

d) 6

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