(Cefet-PR) Sendo mx+nx-1+px+2=6 x^2-5 x-4x^3+x^2-2 x, o valor de m+n+p é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de frações e precisa encontrar o valor de m + n + p . O conteúdo aqui é Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica usada para quebrar frações mais complicadas em frações mais simples. Vamos precisar fatorar o denominador e igualar as frações para descobrir os valores de m , n e p .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração grande:
x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)
Agora, fatorando mais:
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
Então, o denominador fica:
x(x - 1)(x + 2)

Passo 3

Agora, a fração original fica:
6x^2 - 5x - 4x(x - 1)(x + 2) = mx + nx - 1 + px + 2
Vamos multiplicar ambos os lados por x(x - 1)(x + 2) para eliminar os denominadores:
6x^2 - 5x - 4 = m(x - 1)(x + 2) + n(x)(x + 2) + p(x)(x - 1)

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de x que vão simplificar a equação e ajudar a encontrar m , n e p .
Para x = 0 :
6(0)^2 - 5(0) - 4 = m(-1)(2) + n(0)(2) + p(0)(-1)
-4 = -2m Rightarrow m = 2

Passo 5

Para x = 1 :
6(1)^2 - 5(1) - 4 = m(0)(3) + n(1)(3) + p(1)(0)
6 - 5 - 4 = 3n Rightarrow -3 = 3n Rightarrow n = -1

Passo 6

Para x = -2 :
6(-2)^2 - 5(-2) - 4 = m(-3)(0) + n(-2)(0) + p(-2)(-3)
24 + 10 - 4 = 6p Rightarrow 30 = 6p Rightarrow p = 5

Resposta

Somando os valores encontrados:
m + n + p = 2 + (-1) + 5 = 6
A resposta correta é e) 6.

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