(UF-MA) O resto da divisão do polinômio
por x-1 é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um polinômio
e precisamos encontrar o resto da divisão desse polinômio por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Resto, que nos diz que o resto da divisão de um polinômio
por
é igual a
.
Passo 2
Segundo o Teorema do Resto, para encontrar o resto da divisão de
por
, basta calcularmos
. Isso significa substituir
por 1 no polinômio.
Passo 3
Vamos substituir
no polinômio:
Como qualquer número elevado a qualquer potência é 1, simplificamos para:
Passo 4
Observamos que
é uma soma de termos que formam uma progressão geométrica (PG). Numa PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. Aqui, a razão é 3, e os termos vão de
a
.
Passo 5
A fórmula da soma dos termos de uma PG finita é:
Onde:
-
é a soma dos termos, -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é o número de termos.
No nosso caso:
-
, -
, -
(pois os expoentes vão de 0 a 668, totalizando 669 termos).
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Portanto, o resto da divisão é
.
Resposta
c)