(UF-MA) O resto da divisão do polinômio p(x)=3^668 cdot x^2007+3^667 cdot x^2004+ldots+3^2 x^6+3 x^3+1 por x-1 é:
a) 3^670+12
b) 2^670+12
c) 3^670-12
d) 3^669-12
e) 3^668-12

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um polinômio p(x) = 3^668 cdot x^2007 + 3^667 cdot x^2004 + ldots + 3^2x^6 + 3x^3 + 1 e precisamos encontrar o resto da divisão desse polinômio por x - 1 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Resto, que nos diz que o resto da divisão de um polinômio p(x) por x - a é igual a p(a) .

Passo 2

Segundo o Teorema do Resto, para encontrar o resto da divisão de p(x) por x - 1 , basta calcularmos p(1) . Isso significa substituir x por 1 no polinômio.

Passo 3

Vamos substituir x = 1 no polinômio:
p(1) = 3^668 cdot 1^2007 + 3^667 cdot 1^2004 + ldots + 3^2 cdot 1^6 + 3 cdot 1^3 + 1
Como qualquer número elevado a qualquer potência é 1, simplificamos para:
p(1) = 3^668 + 3^667 + ldots + 3^2 + 3 + 1

Passo 4

Observamos que p(1) é uma soma de termos que formam uma progressão geométrica (PG). Numa PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. Aqui, a razão é 3, e os termos vão de 3^0 a 3^668 .

Passo 5

A fórmula da soma dos termos de uma PG finita é:
Sn = a1 cdot (r^n - 1)r - 1
Onde:
  • Sn é a soma dos n termos,
  • a1 é o primeiro termo,
  • r é a razão,
  • n é o número de termos.
No nosso caso:
  • a1 = 1 = 3^0 ,
  • r = 3 ,
  • n = 669 (pois os expoentes vão de 0 a 668, totalizando 669 termos).

Passo 6

Substituindo na fórmula:
S669 = 1 cdot (3^669 - 1)3 - 1 = 3^669 - 12
Portanto, o resto da divisão é 3^669 - 12 .

Resposta

c) 3^670-12

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