Uma partícula movimenta-se de acordo com a equação x(t)=5+10 t^{2}, onde x está em metros e t em segundos.
(a) Qual a posição inicial da partícula (em t=0 s )? Onde ela se encontra após 10 s ?
(b) Encontre a velocidade média para o intervalo de tempo 2,0 s à 3.0 s.
(c) Encontre a aceleração média para o intervalo 1 s a 10 s.
(d) Faça um gráfico que represente a posição da partícula em função do tempo e outro que represente a velocidade em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento:
x(t)=5+10\,t^{2},
com x em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) qual a posição inicial ( t=0) e a posição em t=10\\ \text{s}?
(b) qual a velocidade média no intervalo de t=2{,}0\\ \text{s} a t=3{,}0\\ \text{s}?
(c) qual a aceleração média no intervalo de t=1\\ \text{s} a t=10\\ \text{s}?
(d) fazer um gráfico de posição versus tempo e outro de velocidade versus tempo.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de x(t), as unidades de x e t e os intervalos de tempo pedidos. Nada mais é necessário para responder.

Passo 2

(a) Posição inicial e posição em t=10\\ \text{s}.
Método: para obter a posição em um tempo específico basta substituir esse valor de t na expressão de x(t).
Cálculo de x(0):
x(0)=5+10\cdot 0^{2}=5+10\cdot 0=5.
Logo a posição inicial é 5 metros.
Cálculo de x(10):
x(10)=5+10\cdot 10^{2}=5+10\cdot 100=5+1000=1005.
Logo a posição em t=10\\ \text{s} é 1005 metros.
Comentário didático curto: substituir um número na função é direto — apenas calcular a potência, multiplicar pelo coeficiente e somar a constante.

Passo 3

(b) Velocidade média entre t_1=2{,}0\\ \text{s} e t_2=3{,}0\\ \text{s}.
Conceito usado: a velocidade média no intervalo [t_1,t_2] é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
Primeiro calcular x(2) e x(3).
Cálculo de x(2):
x(2)=5+10\cdot 2^{2}=5+10\cdot 4=5+40=45.
Cálculo de x(3):
x(3)=5+10\cdot 3^{2}=5+10\cdot 9=5+90=95.
Agora a velocidade média:
\bar v=\frac{x(3)-x(2)}{3-2}=\frac{95-45}{1}=\frac{50}{1}=50.
Unidade: metros por segundo. Portanto \bar v_{2\to3}=50\\ \text{m/s}.
Didática extra: a velocidade média não diz como a velocidade variou instantaneamente dentro do intervalo, apenas a razão média de deslocamento por tempo. Para saber a velocidade em cada instante usamos derivadas (ver Passo 4).

Passo 4

Introdução às derivadas (no nível necessário para a prova) e velocidade instantânea.
Conceito: a velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação instantânea da posição — formalmente a derivada de x(t) em relação a t:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra prática (regra do poder/polynomial): se x(t)=a t^{n} então \dfrac{dx}{dt}=a n t^{n-1}. Constantes multiplicativas passam direto e constantes somadas desaparecem ao derivar.
Aplicando à função x(t)=5+10 t^{2}:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5+10 t^{2}\bigr)=0+10\cdot 2 t=20 t.
Explicando os termos: o 0 vem da derivada da constante 5; o 10\cdot 2 t vem da multiplicação do coeficiente 10 pelo expoente 2 e pela potência t^{2-1}=t.
Observação: com v(t)=20 t pode-se obter a velocidade em qualquer instante (por exemplo v(2)=40\\ \text{m/s}, v(3)=60\\ \text{m/s}), e a velocidade média entre 2 e 3 s fica entre esses valores (a média aritmética de 40 e 60 seria 50 porque a velocidade varia linearmente — isso concorda com o cálculo anterior).

Passo 5

(c) Aceleração média entre t_1=1\\ \text{s} e t_2=10\\ \text{s}.
Conceito: aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.
Usando v(t)=20 t (obtida no Passo 4):
Cálculo de v(1) e v(10):
v(1)=20\cdot 1=20, \qquad v(10)=20\cdot 10=200.
Agora a aceleração média:
\bar a=\frac{v(10)-v(1)}{10-1}=\frac{200-20}{9}=\frac{180}{9}=20.
Unidade: metros por segundo ao quadrado. Então \bar a_{1\to10}=20\\ \text{m/s}^2.
Além disso, conceito adicional: aceleração instantânea é a derivada da velocidade ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Derivando v(t)=20 t temos
a(t)=\frac{d}{dt}(20 t)=20.
Ou seja, a aceleração é constante igual a 20\\ \text{m/s}^2. Por isso a aceleração média no intervalo é igual à aceleração instantânea (constante).

Passo 6

(d) Como desenhar os gráficos de x versus t e de v versus t, com pontos para facilitar a prova.
Gráfico 1 — posição x(t) versus tempo t:
  • Equação: \displaystyle x(t)=5+10 t^{2}. É uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de t^{2} é positivo).
  • Ponto inicial: (t,x)=(0,5). Não passa pela origem; intercepto em x é 5.
  • Alguns pontos úteis para plotar (calculei para facilitar): \begin{aligned} t=0 &\Rightarrow x=5,\\\ t=1 &\Rightarrow x=15,\\\ t=2 &\Rightarrow x=45,\\\ t=3 &\Rightarrow x=95,\\\ t=4 &\Rightarrow x=165,\\\ t=5 &\Rightarrow x=255,\\\ t=10 &\Rightarrow x=1005. \end{aligned}
  • Como esboçar: marque o eixo horizontal para t (s) e o eixo vertical para x (m). Escolha uma escala que acomode x até pelo menos 1005\\ \text{m} (por exemplo cada 1 cm = 100\\ \text{m} no papel). Plote os pontos acima e desenhe uma curva suave em forma de “U” que passa por eles; a curvatura cresce conforme t aumenta (crescimento quadrático).
Gráfico 2 — velocidade v(t) versus tempo t:
  • Equação: \displaystyle v(t)=20 t. É uma reta passando pela origem com inclinação (coeficiente angular) 20\\ \text{m/s}^2.
  • Pontos úteis: \begin{aligned} t=0 &\Rightarrow v=0,\\\ t=1 &\Rightarrow v=20,\\\ t=2 &\Rightarrow v=40,\\\ t=3 &\Rightarrow v=60,\\\ t=5 &\Rightarrow v=100,\\\ t=10 &\Rightarrow v=200. \end{aligned}
  • Como esboçar: eixo horizontal t (s), eixo vertical v (m/s). Marque a origem e pontos indicados; ligue-os por uma linha reta passando pela origem. A inclinação indica que a velocidade aumenta 20\\ \text{m/s} a cada segundo.
Dica prática para prova: desenhe primeiro alguns pontos e depois una com curva (parábola) ou reta. Sempre coloque rótulos de eixos e unidades.

Passo 7

Resumo final e lembretes rápidos (motivação): a função dada é simples — termo constante mais termo quadrático — então a velocidade é linear e a aceleração constante. Para perguntas de prova memorize as fórmulas:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t},\qquad v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad \bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Você já praticou substituir números e usar a regra da potência para derivar; com isso resolve esse tipo de questão rapidinho. Força — dá para mandar bem!

Resposta

(a) Posição inicial: x(0)=5\\ \text{m}. Posição em t=10\\ \text{s}: x(10)=1005\\ \text{m}.
(b) Velocidade média entre 2{,}0\\ \text{s} e 3{,}0\\ \text{s}: \bar v_{2\to3}=50\\ \text{m/s}.
(c) Aceleração média entre 1\\ \text{s} e 10\\ \text{s}: \bar a_{1\to10}=20\\ \text{m/s}^2.
(d) Gráficos: posição — parábola \;x(t)=5+10 t^{2}\; com pontos (0,5),(1,15),(2,45),(3,95),(5,255),(10,1005). Velocidade — reta \;v(t)=20 t\; com pontos (0,0),(1,20),(2,40),(3,60),(10,200).

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