Uma partícula movimenta-se de acordo com a equação
, onde
está em metros e
em segundos.
(a) Qual a posição inicial da partícula (em
)? Onde ela se encontra após
?
(b) Encontre a velocidade média para o intervalo de tempo
à
.
(c) Encontre a aceleração média para o intervalo
a
.
(d) Faça um gráfico que represente a posição da partícula em função do tempo e outro que represente a velocidade em função do tempo.
(a) Qual a posição inicial da partícula (em
(b) Encontre a velocidade média para o intervalo de tempo
(c) Encontre a aceleração média para o intervalo
(d) Faça um gráfico que represente a posição da partícula em função do tempo e outro que represente a velocidade em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento:
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) qual a posição inicial ( ) e a posição em
?
(b) qual a velocidade média no intervalo de a
?
(c) qual a aceleração média no intervalo de a
?
(d) fazer um gráfico de posição versus tempo e outro de velocidade versus tempo.
(a) qual a posição inicial (
(b) qual a velocidade média no intervalo de
(c) qual a aceleração média no intervalo de
(d) fazer um gráfico de posição versus tempo e outro de velocidade versus tempo.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
, as unidades de
e
e os intervalos de tempo pedidos. Nada mais é necessário para responder.
Passo 2
(a) Posição inicial e posição em
.
Método: para obter a posição em um tempo específico basta substituir esse valor de na expressão de
.
Método: para obter a posição em um tempo específico basta substituir esse valor de
Cálculo de
:
Logo a posição inicial é
metros.
Cálculo de
:
Logo a posição em
é
metros.
Comentário didático curto: substituir um número na função é direto — apenas calcular a potência, multiplicar pelo coeficiente e somar a constante.
Passo 3
(b) Velocidade média entre
e
.
Conceito usado: a velocidade média no intervalo é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
Conceito usado: a velocidade média no intervalo
Primeiro calcular
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Agora a velocidade média:
Unidade: metros por segundo. Portanto
.
Didática extra: a velocidade média não diz como a velocidade variou instantaneamente dentro do intervalo, apenas a razão média de deslocamento por tempo. Para saber a velocidade em cada instante usamos derivadas (ver Passo 4).
Passo 4
Introdução às derivadas (no nível necessário para a prova) e velocidade instantânea.
Conceito: a velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da posição — formalmente a derivada de
em relação a
:
Conceito: a velocidade instantânea
Regra prática (regra do poder/polynomial): se
então
. Constantes multiplicativas passam direto e constantes somadas desaparecem ao derivar.
Aplicando à função
:
Explicando os termos: o
vem da derivada da constante
; o
vem da multiplicação do coeficiente
pelo expoente
e pela potência
.
Observação: com
pode-se obter a velocidade em qualquer instante (por exemplo
,
), e a velocidade média entre 2 e 3 s fica entre esses valores (a média aritmética de 40 e 60 seria 50 porque a velocidade varia linearmente — isso concorda com o cálculo anterior).
Passo 5
(c) Aceleração média entre
e
.
Conceito: aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
Conceito: aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
Usando
(obtida no Passo 4):
Cálculo de
e
:
Agora a aceleração média:
Unidade: metros por segundo ao quadrado. Então
.
Além disso, conceito adicional: aceleração instantânea é a derivada da velocidade ou a segunda derivada da posição:
Derivando
temos
Ou seja, a aceleração é constante igual a
. Por isso a aceleração média no intervalo é igual à aceleração instantânea (constante).
Passo 6
(d) Como desenhar os gráficos de
versus
e de
versus
, com pontos para facilitar a prova.
Gráfico 1 — posição
versus tempo
:
- Equação:
. É uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). - Ponto inicial:
. Não passa pela origem; intercepto em é . - Alguns pontos úteis para plotar (calculei para facilitar):
- Como esboçar: marque o eixo horizontal para
(s) e o eixo vertical para (m). Escolha uma escala que acomode até pelo menos (por exemplo cada 1 cm = no papel). Plote os pontos acima e desenhe uma curva suave em forma de “U” que passa por eles; a curvatura cresce conforme aumenta (crescimento quadrático).
Gráfico 2 — velocidade
versus tempo
:
- Equação:
. É uma reta passando pela origem com inclinação (coeficiente angular) . - Pontos úteis:
- Como esboçar: eixo horizontal
(s), eixo vertical (m/s). Marque a origem e pontos indicados; ligue-os por uma linha reta passando pela origem. A inclinação indica que a velocidade aumenta a cada segundo.
Dica prática para prova: desenhe primeiro alguns pontos e depois una com curva (parábola) ou reta. Sempre coloque rótulos de eixos e unidades.
Passo 7
Resumo final e lembretes rápidos (motivação): a função dada é simples — termo constante mais termo quadrático — então a velocidade é linear e a aceleração constante. Para perguntas de prova memorize as fórmulas:
Você já praticou substituir números e usar a regra da potência para derivar; com isso resolve esse tipo de questão rapidinho. Força — dá para mandar bem!
Resposta
(a) Posição inicial:
. Posição em
:
.
(b) Velocidade média entre e
:
.
(c) Aceleração média entre e
:
.
(d) Gráficos: posição — parábola com pontos
. Velocidade — reta
com pontos
.
(b) Velocidade média entre
(c) Aceleração média entre
(d) Gráficos: posição — parábola