5^{\mathrm{a}} Questão (2.0):
Um cilindro infinitamente longo com raio a tem uma densidade de carga que é proporcional à distância ao eixo, \rho=\kappa r, onde \kappa é uma constante. Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro ( r<a ) é dado pela expressão,
\vec{E}=\frac{1}{3 \epsilon_{0}} \kappa r^{2} \widehat{r}

Passo 1

O enunciado dá um cilindro infinito de raio a com densidade de carga volumétrica que varia com a distância ao eixo segundo \rho=\kappa r, onde \kappa é uma constante. Pede-se o campo elétrico a uma distância r do eixo quando r<a (ou seja, dentro do cilindro).\n
Informações e o que é pedido:
\begin{aligned} &\text{Dado:}\quad \rho(r)=\kappa r,\quad \text{raio do cilindro}=a,\quad \kappa=\text{constante},\\\ &\text{Queremos:}\quad \vec{E}(r)\\ \text{para}\\\ 0\le r<a. \end{aligned}

Passo 2

Por simetria (cilíndrica e o cilindro sendo infinito) o campo elétrico em qualquer ponto a distância r do eixo é radial e depende apenas de r. Assim podemos usar a Lei de Gauss na forma integral:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada escolhida com a mesma simetria do problema e Q_{\text{int}} é a carga contida por \mathcal{S}. Vou escolher como superfície gaussianamente conveniente um cilindro coaxial de raio r e comprimento L (com 0\le r<a). Defino as variáveis usadas:
\begin{aligned} & r' = \text{variável radial de integração (não confundir com o ponto onde calculamos \(E\))},\\ & L = \text{comprimento do cilindro gaussiano (cancela no final)},\\ & \epsilon_0 = \text{permitividade do vácuo}. \end{aligned}áçããá

Passo 3

Vamos calcular Q_{\text{int}}, a carga contida dentro do cilindro de raio r e comprimento L. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dV = r'\,dr'\,d\theta\,dz.
A carga elementar é dq=\rho(r')\,dV=\kappa r'\cdot r'\,dr'\,d\theta\,dz=\kappa r'^2\,dr'\,d\theta\,dz. Integrando sobre \theta\in[0,2\pi], z\in[0,L] e r'\in[0,r]:
\begin{aligned} Q_{\text{int}} &=\int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r'=0}^{r} \kappa r'^2\,dr'\,d\theta\,dz\\[4pt] &=\kappa\,(2\pi)\,L\int_{0}^{r} r'^2\,dr'. \end{aligned}
Calcule a integral em r':
\int_{0}^{r} r'^2\,dr'=\left[\frac{r'^3}{3}\right]_{0}^{r}=\frac{r^3}{3}.
Logo
Q_{\text{int}}=\kappa\,2\pi L\cdot\frac{r^3}{3}=\frac{2\pi\kappa L r^3}{3}.]

Passo 4

Agora calcule o fluxo \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} pela superfície gaussiana. Por simetria, \vec{E} é radial e tem módulo constante na superfície lateral do cilindro de raio r. O fluxo pelas tampas (bases) é zero porque \vec{E} é perpendicular às normais das tampas (as tampas têm normal paralela ao eixo) — para um cilindro infinito podemos desprezar contribuições dos extremos ou argumentar que em limite L grande só a lateral importa. Assim o fluxo total é o fluxo através da superfície lateral:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot (\text{área lateral})=E(r)\cdot(2\pi r L).á

Passo 5

Aplique a Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\cdot\frac{2\pi\kappa L r^3}{3}.
Agora isole E(r). Cancelam 2\pi L dos dois lados:
E(r)\,r=\frac{\kappa r^3}{3\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\kappa r^2}{3\epsilon_0}.
O vetor campo é radial (para fora se \kappa>0), então
\vec{E}(r)=\frac{1}{3\epsilon_0}\kappa r^2\,\widehat{r}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: E cresce com r^2 dentro do cilindro porque, embora a densidade aumente com r, a carga total interior cresce como r^3, e o fluxo por uma superfície de raio r é proporcional a r, resultando em E\propto r^2. As dimensões também conferem (unidades de \kappa são tais que o resultado dá campo elétrico em unidades corretas). Força-tarefa: lembre-se, para r>a deveria somar toda a carga do cilindro de raio a e obter E\propto 1/r, mas aqui pediram apenas r<a.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{3\epsilon_{0}}\,\kappa\,r^{2}\,\widehat{r}

Exercícios relacionados