Questão (2.0):
Um cilindro infinitamente longo com raio
tem uma densidade de carga que é proporcional à distância ao eixo,
, onde
é uma constante. Mostre que o campo elétrico a uma distância
do eixo do cilindro (
) é dado pela expressão,
Um cilindro infinitamente longo com raio
Passo 1
O enunciado dá um cilindro infinito de raio
com densidade de carga volumétrica que varia com a distância ao eixo segundo
, onde
é uma constante. Pede-se o campo elétrico a uma distância
do eixo quando
(ou seja, dentro do cilindro).\n
Informações e o que é pedido:
Informações e o que é pedido:
Passo 2
Por simetria (cilíndrica e o cilindro sendo infinito) o campo elétrico em qualquer ponto a distância
do eixo é radial e depende apenas de
. Assim podemos usar a Lei de Gauss na forma integral:
onde
é uma superfície fechada escolhida com a mesma simetria do problema e
é a carga contida por
. Vou escolher como superfície gaussianamente conveniente um cilindro coaxial de raio
e comprimento
(com
). Defino as variáveis usadas:
Passo 3
Vamos calcular
, a carga contida dentro do cilindro de raio
e comprimento
. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
A carga elementar é
. Integrando sobre
,
e
:
Calcule a integral em
:
Logo
Passo 4
Agora calcule o fluxo
pela superfície gaussiana. Por simetria,
é radial e tem módulo constante na superfície lateral do cilindro de raio
. O fluxo pelas tampas (bases) é zero porque
é perpendicular às normais das tampas (as tampas têm normal paralela ao eixo) — para um cilindro infinito podemos desprezar contribuições dos extremos ou argumentar que em limite
grande só a lateral importa. Assim o fluxo total é o fluxo através da superfície lateral:
Passo 5
Aplique a Lei de Gauss:
Agora isole
. Cancelam
dos dois lados:
O vetor campo é radial (para fora se
), então
Passo 6
Verificação rápida de consistência:
cresce com
dentro do cilindro porque, embora a densidade aumente com
, a carga total interior cresce como
, e o fluxo por uma superfície de raio
é proporcional a
, resultando em
. As dimensões também conferem (unidades de
são tais que o resultado dá campo elétrico em unidades corretas). Força-tarefa: lembre-se, para
deveria somar toda a carga do cilindro de raio
e obter
, mas aqui pediram apenas
.