Uma célula voltaica tem umE cellvalor de 1,536 \mathrm{~V}. Qual é a concentração de \mathrm{Ag}^{+}na célula?
\mathrm{Zn}(\mathrm{s})\left|\mathrm{Zn}^{2+}(2.00 \mathrm{M}) \| \mathrm{Ag}^{+}(\mathrm{x} \mathrm{M})\right| \mathrm{Ag}(\mathrm{s})

Passo 1

O enunciado dá uma célula voltaica e pede a concentração de \mathrm{Ag}^+. Dados fornecidos:
  • Potencial da célula: E_{\text{cell}} = 1,536\\ \mathrm{V}.
  • Notação da célula: \mathrm{Zn}(\mathrm{s}) \mid \mathrm{Zn}^{2+}(2,00\\ \mathrm{M}) \parallel \mathrm{Ag}^{+}(x\\ \mathrm{M}) \mid \mathrm{Ag}(\mathrm{s}).
  • Concentração conhecida: [\mathrm{Zn}^{2+}] = 2,00\\ \mathrm{M}.
  • Concentração desconhecida: [\mathrm{Ag}^{+}] = x\\ \mathrm{M} (é o que queremos achar).
A pergunta é: qual é [\mathrm{Ag}^{+}] (ou seja, x) que torna o potencial da célula igual a 1,536\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Escrever a reação global e identificar quantos elétrons são transferidos.
As semi-reações (redução) padrão são:
\mathrm{Ag}^{+} + e^{-} \to \mathrm{Ag}(s)
\mathrm{Zn}^{2+} + 2e^{-} \to \mathrm{Zn}(s)
A reação global (direção espontânea na célula mostrada) é
\mathrm{Zn}(s) + 2\,\mathrm{Ag}^{+} \to \mathrm{Zn}^{2+} + 2\,\mathrm{Ag}(s).
Nessa reação, n=2 elétrons são transferidos por mol de \mathrm{Zn}. É importante porque o Nernst depende de n.

Passo 3

Obter o potencial padrão da célula E^\circ_{\text{cell}}. Usam-se potenciais padrão tabulados:
  • Potencial de redução padrão para \mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}: E^\circ(\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}) = +0,7996\\ \mathrm{V}.
  • Potencial de redução padrão para \mathrm{Zn}^{2+}/\mathrm{Zn}: E^\circ(\mathrm{Zn}^{2+}/\mathrm{Zn}) = -0,763\\ \mathrm{V}.
O potencial padrão da célula é
E^\circ_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cátodo}} - E^\circ_{\text{ânodo}} = E^\circ(\mathrm{Ag}^{+}/\mathrm{Ag}) - E^\circ(\mathrm{Zn}^{2+}/\mathrm{Zn}).áâ
Substituindo valores:
E^\circ_{\text{cell}} = 0,7996 - (-0,763) = 1,5626\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Apresentar a equação de Nernst e explicar seus termos. Para uma célula à temperatura de 25^\circ\mathrm{C} (assumimos 298\\ \mathrm{K}), a forma prática é
E_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cell}} - \frac{0,05916}{n}\log_{10} Q,
onde:
  • E_{\text{cell}} é o potencial da célula nas condições dadas (aqui 1,536\\ \mathrm{V});
  • E^\circ_{\text{cell}} é o potencial padrão da célula (calculado no passo anterior);
  • n é o número de elétrons transferidos (aqui n=2);
  • Q é o quociente de reação, calculado com as concentrações atuais dos reagentes e produtos (sólidos não entram em Q);
  • o fator 0,05916 vem de \dfrac{RT}{F} convertido para logaritmo decimal a 298\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Determinar o quociente de reação Q para a reação global. A reação é
\mathrm{Zn}(s) + 2\,\mathrm{Ag}^{+} \to \mathrm{Zn}^{2+} + 2\,\mathrm{Ag}(s),
logo
Q = \frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]}{[\mathrm{Ag}^{+}]^{2}}.
Substituindo [\mathrm{Zn}^{2+}] = 2,00\\ \mathrm{M} e [\mathrm{Ag}^{+}] = x:
Q = \frac{2,00}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicar a equação de Nernst e isolar x. Começamos colocando tudo na fórmula:
1,536 = 1,5626 - \frac{0,05916}{2}\log_{10}\!\left(\frac{2,00}{x^{2}}\right).
Calcular o coeficiente:
\frac{0,05916}{2}=0,02958.
Reescrevendo:
1,5626 - 1,536 = 0,02958\log_{10}\!\left(\frac{2,00}{x^{2}}\right).
Calcular a diferença:
0,0266 = 0,02958\log_{10}\!\left(\frac{2,00}{x^{2}}\right).
Isolando o logaritmo:
\log_{10}\!\left(\frac{2,00}{x^{2}}\right) = \frac{0,0266}{0,02958} \approx 0,8997.

Passo 7

Resolver para x exponenciando e extraindo raiz quadrada.
\frac{2,00}{x^{2}} = 10^{0,8997} \approx 7,94.
Logo
x^{2} = \frac{2,00}{7,94} \approx 0,2519.
Tomando a raiz quadrada (concentração positiva):
x = \sqrt{0,2519} \approx 0,502\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o resultado indica que a solução de prata tem concentração aproximadamente 0,502\\ \mathrm{M}. Faz sentido fisicamente — um potencial menor que o padrão significa que a razão [\mathrm{Zn}^{2+}]/[\mathrm{Ag}^{+}]^{2} é maior que 1, então [\mathrm{Ag}^{+}] tem que ser menor que a raiz de 2,00 para equilibrar, e obtemos um valor razoável. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

[\mathrm{Ag}^{+}] \approx 0,502\\ \mathrm{M}

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