Você tem R$ 1.200,00 e quer investir por 1 ano. Três opções:
Fundo A: 3% ao mês
Fundo B: 5% ao trimestre
Fundo C: 36% ao ano
Qual fundo oferece o maior retorno com juros simples? E se fosse juros compostos? Compare!

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Você tem \text{R\$ }1.200,00 para investir durante 1 ano.
  • Três opções de investimento com suas taxas nominais:
    • Fundo A: 3\% ao mês.
    • Fundo B: 5\% ao trimestre.
    • Fundo C: 36\% ao ano.
  • Perguntas que vamos responder:
    1. Qual fundo oferece o maior retorno se os juros forem simples?
    2. Qual fundo oferece o maior retorno se os juros forem compostos?
    3. Fazer a comparação entre os dois regimes (simples vs compostos).

Passo 2

Conceito e fórmula de juros simples (aula curtinha e prática).
  • Juros simples significa que o juro em cada período é calculado sobre o capital inicial sempre, não sobre o capital que vai crescendo.
  • Fórmula do montante (valor final) em juros simples:
M = P \bigl(1 + r \cdot t\bigr)
onde:
  • M é o montante (valor final).
  • P é o principal (capital inicial). Aqui P=\text{R\$ }1.200,00.
  • r é a taxa por período (em forma decimal).
  • t é o número de períodos.
  • Observação prática: para comparar rendimentos anuais com juros simples, trazemos todas as taxas para o ano (meses ou trimestres) e usamos t correspondente a um ano.

Passo 3

Cálculo dos montantes com juros simples para cada fundo (passo a passo).
  • Fundo A: 3\% ao mês ⇒ r_A=0,03 por mês e em 1 ano temos t=12 meses. Aplicando a fórmula:
M_A = P\bigl(1 + r_A\cdot t\bigr) = \text{R\$ }1.200,00 \bigl(1 + 0,03\cdot 12\bigr)
1 + 0,03\cdot 12 = 1 + 0,36 = 1,36
M_A = \text{R\$}1.200,00 \times 1,36 = \text{R\$ }1.632,00
  • Fundo B: 5\% ao trimestre ⇒ r_B=0,05 por trimestre e em 1 ano temos t=4 trimestres. Então:
M_B = \text{R\$ }1.200,00\bigl(1 + 0,05\cdot 4\bigr)
1 + 0,05\cdot 4 = 1 + 0,20 = 1,20
M_B = \text{R\$}1.200,00 \times 1,20 = \text{R\$ }1.440,00
  • Fundo C: 36\% ao ano ⇒ taxa já anual r_C=0,36 e t=1 ano. Então:
M_C = \text{R\$}1.200,00\bigl(1 + 0,36\cdot 1\bigr) = \text{R\$ }1.200,00\times 1,36 = \text{R\$ }1.632,00

Passo 4

Conclusão para juros simples (comparação direta).
  • Valores finais (juros simples):
    • M_A=\text{R\$ }1.632,00
    • M_B=\text{R\$ }1.440,00
    • M_C=\text{R\$ }1.632,00
  • Interpretação: o Fundo A e o Fundo C empataram porque 3\%\times 12 = 36\%, ou seja, a taxa mensal de 3\% aplicada por 12 meses, em juros simples, dá exatamente 36\% no ano. Portanto, com juros simples o maior retorno é um empate entre Fundo A e Fundo C.

Passo 5

Conceito e fórmula de juros compostos (aula prática).
  • Juros compostos significa que, a cada período, o juro incide sobre o capital acumulado (capital anterior + juros já ganhos). Isso gera crescimento exponencial.
  • Fórmula do montante em juros compostos:
M = P(1+i)^n
onde:
  • M é o montante final.
  • P é o principal.
  • i é a taxa por período (decimal).
  • n é o número total de períodos.
  • Para converter taxas dadas em uma periodicidade para o ano, usamos n igual ao número de períodos no ano e i a taxa por período (por ex.: mensal → n=12, trimestral → n=4, anual → n=1).

Passo 6

Cálculo dos montantes com juros compostos para cada fundo (detalhado).
  • Fundo A: 3\% ao mês, compostos mensalmente. Então i_A=0,03 e n=12.
M_A = \text{R\$ }1.200,00\,(1+0,03)^{12}
Vamos calcular (1{,}03)^{12} passo a passo (multiplicações sucessivas, para você conseguir reproduzir sem calculadora se pedir aproximações):
\begin{aligned} (1{,}03)^2 &= 1{,}0609\\\ (1{,}03)^3 &= 1{,}0609\times 1{,}03 = 1{,}092727\\\ (1{,}03)^4 &= 1{,}092727\times 1{,}03 = 1{,}12550881\\\ (1{,}03)^5 &= 1{,}12550881\times 1{,}03 = 1{,}1592740743\\\ (1{,}03)^6 &= 1{,}1592740743\times 1{,}03 = 1{,}194052296529\\\ (1{,}03)^7 &= 1{,}194052296529\times 1{,}03 = 1{,}22987386542487\\\ (1{,}03)^8 &= 1{,}22987386542487\times 1{,}03 = 1{,}266770081387616\\\ (1{,}03)^9 &= 1{,}266770081387616\times 1{,}03 = 1{,}3047731838292445\\\ (1{,}03)^{10} &= 1{,}3047731838292445\times 1{,}03 = 1{,}3439163793441218\\\ (1{,}03)^{11} &= 1{,}3439163793441218\times 1{,}03 = 1{,}3842338707244455\\\ (1{,}03)^{12} &= 1{,}3842338707244455\times 1{,}03 = 1{,}4257608868461788 \end{aligned}
Portanto:
M_A = \text{R\$}1.200,00\times 1{,}4257608868461788 \approx \text{R\$ }1.710,91
(arredondando para centavos).
  • Fundo B: 5\% ao trimestre, composto por trimestre. Então i_B=0,05 e n=4.
M_B = \text{R\$}1.200,00\,(1+0,05)^4 = \text{R\$ }1.200,00\times 1{,}05^4
Cálculo de 1{,}05^4:
1{,}05^2 = 1{,}1025,\qquad 1{,}05^4 = (1{,}1025)^2 = 1{,}21550625
M_B = \text{R\$}1.200,00\times 1{,}21550625 = \text{R\$ }1.458,61
(arredondando para centavos).
  • Fundo C: 36\% ao ano, composto anualmente. Então i_C=0,36 e n=1.
M_C = \text{R\$}1.200,00\,(1+0,36)^1 = \text{R\$ }1.200,00\times 1{,}36 = \text{R\$ }1.632,00

Passo 7

Comparação e interpretação dos resultados em juros compostos.
  • Montantes (juros compostos):
    • M_A\approx \text{R\$ }1.710,91 (Fundo A — mensal 3% composto)
    • M_C=\text{R\$ }1.632,00 (Fundo C — anual 36% composto)
    • M_B=\text{R\$ }1.458,61 (Fundo B — trimestral 5% composto)
  • Interpretação: embora a taxa nominal anual do Fundo C seja 36\% e a soma simples de 3\%\times 12 dê também 36\%, no regime de juros compostos o Fundo A rende mais porque os juros são capitalizados mais frequentemente (mensalmente) e isso provoca efeito de composição que aumenta o rendimento anual efetivo. O Fundo B, com 5\% por trimestre, tem rendimento efetivo anual menor que os outros dois no regime composto.

Passo 8

Resumo didático (por que isso acontece e como comparar rapidamente).
  • Para comparar investimentos com periodicidades diferentes em regime composto, calcule a taxa efetiva anual (EAR) com a fórmula:
\text{EAR} = (1+i_{\text{período}})^{\text{número de períodos no ano}} - 1íúí
Aplicando aqui:
  • Fundo A: \text{EAR}_A = (1{,}03)^{12}-1 \approx 0{,}4257608868 \Rightarrow 42{,}576\% ao ano efetivo.
  • Fundo B: \text{EAR}_B = (1{,}05)^{4}-1 \approx 0{,}21550625 \Rightarrow 21{,}551\% ao ano efetivo.
  • Fundo C: \text{EAR}_C = (1{,}36)^{1}-1 = 0{,}36 \Rightarrow 36{,}0\% ao ano efetivo.
  • Conclusão rápida: em juros compostos, maior \text{EAR} ⇒ maior ganho. Aqui \text{EAR}_A>\text{EAR}_C>\text{EAR}_B.

Resposta

Juros simples: Fundo A e Fundo C (empate) — montante final \text{R\$ }1.632,00.
Juros compostos: Fundo A é o melhor — montante final \text{R\$}1.710,91; em seguida Fundo C — \text{R\$ }1.632,00; por último Fundo B — \text{R\$ }1.458,61.

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