Cenário: A temperatura
(em
) de um componente eletrônico foi medida em diferentes tempos
(em minutos) após ser ligado.
Table 1: Tabela 1: Dados de Tempo e Temperatura\captionsetup{labelformat=empty}
Ponto
Tempo
Temperatura
1
25
3
40
5
52
6
55
Questão: Utilizando a Interpolação de Lagrange de terceiro grau, determine o polinômio
que aproxima os dados e estime a temperatura do componente no tempo
minutos.
Table 1: Tabela 1: Dados de Tempo e Temperatura
\captionsetup{labelformat=empty}
| Ponto | Tempo
|
Temperatura
|
|
|
1 | 25 |
|
|
3 | 40 |
|
|
5 | 52 |
|
|
6 | 55 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com medidas de tempo e temperatura e pede duas coisas: (1) obter o polinômio interpolador de grau 3 usando Interpolação de Lagrange e (2) estimar a temperatura no tempo
minutos. Os dados fornecidos são os quatro pontos (peguei esses dados da tabela do enunciado):
Passo 2
Vou aplicar a fórmula de Lagrange. A ideia: construir polinômios base
e então
Cada
é dada por
Aqui
é a variável (tempo em minutos) e
são as temperaturas observadas nos pontos
. Vou calcular explicitamente cada
.
Passo 3
Calculo de
para
:
Os denominadores são
. O produto dá
. Logo
Faço a expansão do produto:
portanto
Passo 4
Calculo de
para
:
Denominadores:
. Produto
. Assim
Expando o produto:
portanto
Passo 5
Calculo de
para
:
Denominadores:
. Produto
. Então
Expansão:
logo
Passo 6
Calculo de
para
:
Denominadores:
e o produto é
. Assim
Expansão:
portanto
Passo 7
Agora monto
. Substituo as expansões e somo coeficientes para cada potência de
.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto, somando tudo, obtemos o polinômio interpolador em forma simplificada:
Passo 8
Agora estimo a temperatura em
. Substituo
em
:
Calculo passo a passo:
Somando (usando denominador comum
por exemplo):