Cenário: A temperatura T (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) de um componente eletrônico foi medida em diferentes tempos t (em minutos) após ser ligado.
Table 1: Tabela 1: Dados de Tempo e Temperatura
\captionsetup{labelformat=empty}
Ponto Tempo t(\mathrm{~min}) Temperatura T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
x_{0} 1 25
x_{1} 3 40
x_{2} 5 52
x_{3} 6 55
Questão: Utilizando a Interpolação de Lagrange de terceiro grau, determine o polinômio P_{3}(t) que aproxima os dados e estime a temperatura do componente no tempo t^{*}=4 minutos.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com medidas de tempo e temperatura e pede duas coisas: (1) obter o polinômio interpolador de grau 3 usando Interpolação de Lagrange e (2) estimar a temperatura no tempo t^{*}=4 minutos. Os dados fornecidos são os quatro pontos (peguei esses dados da tabela do enunciado):
x_{0}:(t_{0},T_{0})=(1,25),\quad x_{1}:(t_{1},T_{1})=(3,40),\quad x_{2}:(t_{2},T_{2})=(5,52),\quad x_{3}:(t_{3},T_{3})=(6,55).

Passo 2

Vou aplicar a fórmula de Lagrange. A ideia: construir polinômios base \ell_{j}(t)\) tais que \(\ell_{j}(t_{k})=\begin{cases}1,&k=j,\\\ 0,&k\ne j,\end{cases} e então
P_{3}(t)=\sum_{j=0}^{3} T_{j}\,\ell_{j}(t).
Cada \ell_{j}(t) é dada por
\ell_{j}(t)=\prod_{\substack{m=0\m\ne j}}^{3}\frac{t-t_{m}}{t_{j}-t_{m}}.
Aqui \;t é a variável (tempo em minutos) e T_{j} são as temperaturas observadas nos pontos t_{j}. Vou calcular explicitamente cada \ell_{j}(t).

Passo 3

Calculo de \ell_{0}(t) para t_{0}=1:
\ell_{0}(t)=\frac{(t-3)(t-5)(t-6)}{(1-3)(1-5)(1-6)}.
Os denominadores são (1-3)=-2,\;(1-5)=-4,\;(1-6)=-5. O produto dá (-2)(-4)(-5)=-40. Logo
\ell_{0}(t)=-\frac{1}{40}(t-3)(t-5)(t-6).
Faço a expansão do produto:
(t-3)(t-5)(t-6)=t^{3}-14t^{2}+63t-90,
portanto
\ell_{0}(t)=-\frac{1}{40}t^{3}+\frac{7}{20}t^{2}-\frac{63}{40}t+\frac{9}{4}.

Passo 4

Calculo de \ell_{1}(t) para t_{1}=3:
\ell_{1}(t)=\frac{(t-1)(t-5)(t-6)}{(3-1)(3-5)(3-6)}.
Denominadores: (3-1)=2,\;(3-5)=-2,\;(3-6)=-3. Produto 2\cdot(-2)\cdot(-3)=12. Assim
\ell_{1}(t)=\frac{1}{12}(t-1)(t-5)(t-6).
Expando o produto:
(t-1)(t-5)(t-6)=t^{3}-12t^{2}+41t-30,
portanto
\ell_{1}(t)=\frac{1}{12}t^{3}-t^{2}+\frac{41}{12}t-\frac{5}{2}.

Passo 5

Calculo de \ell_{2}(t) para t_{2}=5:
\ell_{2}(t)=\frac{(t-1)(t-3)(t-6)}{(5-1)(5-3)(5-6)}.
Denominadores: (5-1)=4,\;(5-3)=2,\;(5-6)=-1. Produto 4\cdot2\cdot(-1)=-8. Então
\ell_{2}(t)=-\frac{1}{8}(t-1)(t-3)(t-6).
Expansão:
(t-1)(t-3)(t-6)=t^{3}-10t^{2}+27t-18,
logo
\ell_{2}(t)=-\frac{1}{8}t^{3}+\frac{5}{4}t^{2}-\frac{27}{8}t+\frac{9}{4}.

Passo 6

Calculo de \ell_{3}(t) para t_{3}=6:
\ell_{3}(t)=\frac{(t-1)(t-3)(t-5)}{(6-1)(6-3)(6-5)}.
Denominadores: 5,\;3,\;1 e o produto é 15. Assim
\ell_{3}(t)=\frac{1}{15}(t-1)(t-3)(t-5).
Expansão:
(t-1)(t-3)(t-5)=t^{3}-9t^{2}+23t-15,
portanto
\ell_{3}(t)=\frac{1}{15}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}+\frac{23}{15}t-1.

Passo 7

Agora monto P_{3}(t)=25\ell_{0}(t)+40\ell_{1}(t)+52\ell_{2}(t)+55\ell_{3}(t). Substituo as expansões e somo coeficientes para cada potência de t.
Coeficiente de t^{3}:
25\left(-\frac{1}{40}\right)+40\left(\frac{1}{12}\right)+52\left(-\frac{1}{8}\right)+55\left(\frac{1}{15}\right) = -\frac{1}{8}.
Coeficiente de t^{2}:
25\left(\frac{7}{20}\right)+40(-1)+52\left(\frac{5}{4}\right)+55\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{3}{4}.
Coeficiente de t:
25\left(-\frac{63}{40}\right)+40\left(\frac{41}{12}\right)+52\left(-\frac{27}{8}\right)+55\left(\frac{23}{15}\right)=\frac{49}{8}.
Termo constante:
25\left(\frac{9}{4}\right)+40\left(-\frac{5}{2}\right)+52\left(\frac{9}{4}\right)+55(-1)=\frac{73}{4}.
Portanto, somando tudo, obtemos o polinômio interpolador em forma simplificada:
P_{3}(t)=-\frac{1}{8}t^{3}+\frac{3}{4}t^{2}+\frac{49}{8}t+\frac{73}{4}.

Passo 8

Agora estimo a temperatura em t^{*}=4. Substituo t=4 em P_{3}(t):
P_{3}(4)=-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}+\frac{3}{4}\cdot 4^{2}+\frac{49}{8}\cdot 4+\frac{73}{4}.
Calculo passo a passo:
-\frac{1}{8}\cdot 64=-8,\qquad \frac{3}{4}\cdot 16=12,\qquad \frac{49}{8}\cdot 4=\frac{196}{8}=\frac{49}{2},\qquad \frac{73}{4}.
Somando (usando denominador comum 4 por exemplo):
P_{3}(4)=-8+12+\frac{49}{2}+\frac{73}{4}=\frac{187}{4}=46{,}75.

Resposta

P_{3}(t)=-\dfrac{1}{8}t^{3}+\dfrac{3}{4}t^{2}+\dfrac{49}{8}t+\dfrac{73}{4}.
P_{3}(4)=\dfrac{187}{4}=46{,}75\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

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