Seja o problema de aproximação por mínimos quadrados contínuo da função f(x)=e^{-x} \operatorname{sen}(x) no intervalo [0,1], utilizando a base \left\{1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right\}. o produto interno adotado é \left\langle\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{i}}, \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{j}}\right\rangle=\int_{0}^{\mathbf{1}} \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{j}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}.
A equação normal para determinar os coeficientes é:
\sum_{i} a_{i} \int_{a}^{b} g_{i} d x=\int_{a}^{b} f d x
\sum_{i} a_{i}\left\langle g_{i}, g_{j}\right\rangle=\left\langle f, g_{j}\right\rangle
\sum_{i} a_{i}\left\langle g_{i}, g_{j}\right\rangle=f
\sum_{i} a_{i} g_{i}=f
\left\langle\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{j}}\right\rangle=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado pede: escolher a equação normal correta para determinar os coeficientes da aproximação por mínimos quadrados contínua de f(x)=e^{-x}\operatorname{sen}(x) em [0,1] usando a base \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\}. O produto interno dado é \langle g_i,g_j\rangle=\int_{0}^{1} g_i(x)g_j(x)\,dx. As informações relevantes são: a função f, o intervalo [0,1], a base de aproximantes \{g_i\} e o produto interno definido por integral; a pergunta é qual das alternativas apresentadas é a equação normal que dá os coeficientes a_i.

Passo 2

Defino a aproximação: procuro p(x) na forma
p(x)=\sum_{i} a_{i} g_{i}(x),
onde os g_i são os vetores da base (aqui g_1(x)=1,g_2(x)=x,\dots). O erro (resíduo) é
r(x)=f(x)-p(x)=f(x)-\sum_{i} a_{i} g_{i}(x).
A ideia do método dos mínimos quadrados (projeção ortogonal) é escolher os a_i que minimizam a norma quadrada do resíduo
\|r\|^{2}=\langle r,r\rangle=\int_{0}^{1} \big(f(x)-\sum_{i} a_{i} g_{i}(x)\big)^{2} dx.
Vou usar essa definição para obter as condições de ótimo.

Passo 3

Uma forma padrão e intuitiva de obter as equações é exigir que o resíduo seja ortogonal a cada vetor da base: para todo j,
\langle r, g_{j}\rangle=0.
Este é o mesmo que a condição de mínimo porque a função objetivo \|r\|^{2} é quadrática em cada a_i e sua derivada parcial em relação a a_j igual a zero dá exatamente \langle r,g_j\rangle=0. Explicitando r obtemos
\big\langle f-\sum_{i} a_{i} g_{i},\, g_{j}\big\rangle=0.

Passo 4

Usando linearidade do produto interno (ele é linear em cada argumento), desenvolvo a expressão:
\langle f,g_{j}\rangle-\sum_{i} a_{i}\langle g_{i},g_{j}\rangle=0.
Isolando a soma:
\sum_{i} a_{i}\langle g_{i},g_{j}\rangle=\langle f,g_{j}\rangle,
que vale para todo índice j. Essas são as equações normais do problema dos mínimos quadrados contínuos. Em forma matricial, se G é a matriz de Gram com entradas G_{ji}=\langle g_{i},g_{j}\rangle e a o vetor de coeficientes, temos G a = b com b_j=\langle f,g_j\rangle.

Passo 5

Agora comento rapidamente por que as outras alternativas estão erradas (apenas justificativa curta):
  • A alternativa \sum_{i} a_{i}\int_{a}^{b} g_{i}\,dx=\int_{a}^{b} f\,dx corresponde apenas ao caso em que se testasse a equação com o gerador constante g_j\equiv 1 — não impõe ortogonalidade para todos os g_j, logo é insuficiente.
  • A alternativa \sum_{i} a_{i}\langle g_{i},g_{j}\rangle=f está incorreta porque o lado direito deve ser um número (o produto interno \langle f,g_j\rangle), não a função f.
  • A alternativa \sum_{i} a_{i} g_{i}=f exige igualdade exata (interpolação na função), o que geralmente não é possível em aproximação por mínimos quadrados com espaço de menor dimensão; não é a condição de mínimo.
  • A alternativa \langle f,g_{j}\rangle=\mathbf{0} está errada porque isso exigiria que f fosse ortogonal a todos os g_j, o que não é a condição de escolha dos coeficientes (o que precisa ser ortogonal é o resíduo f-\sum a_i g_i).

Resposta

\sum_{i} a_{i}\left\langle g_{i}, g_{j}\right\rangle=\left\langle f, g_{j}\right\rangle

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