Seja o problema de aproximação por mínimos quadrados contínuo da função
no intervalo
, utilizando a base
. o produto interno adotado é
.
A equação normal para determinar os coeficientes é:
◯
◯
◯
◯
◯
A equação normal para determinar os coeficientes é:
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado pede: escolher a equação normal correta para determinar os coeficientes da aproximação por mínimos quadrados contínua de
em
usando a base
. O produto interno dado é
. As informações relevantes são: a função
, o intervalo
, a base de aproximantes
e o produto interno definido por integral; a pergunta é qual das alternativas apresentadas é a equação normal que dá os coeficientes
.
Passo 2
Defino a aproximação: procuro
na forma
onde os
são os vetores da base (aqui
). O erro (resíduo) é
A ideia do método dos mínimos quadrados (projeção ortogonal) é escolher os
que minimizam a norma quadrada do resíduo
Vou usar essa definição para obter as condições de ótimo.
Passo 3
Uma forma padrão e intuitiva de obter as equações é exigir que o resíduo seja ortogonal a cada vetor da base: para todo
,
Este é o mesmo que a condição de mínimo porque a função objetivo
é quadrática em cada
e sua derivada parcial em relação a
igual a zero dá exatamente
. Explicitando
obtemos
Passo 4
Usando linearidade do produto interno (ele é linear em cada argumento), desenvolvo a expressão:
Isolando a soma:
que vale para todo índice
. Essas são as equações normais do problema dos mínimos quadrados contínuos. Em forma matricial, se
é a matriz de Gram com entradas
e
o vetor de coeficientes, temos
com
.
Passo 5
Agora comento rapidamente por que as outras alternativas estão erradas (apenas justificativa curta):
- A alternativa
corresponde apenas ao caso em que se testasse a equação com o gerador constante — não impõe ortogonalidade para todos os , logo é insuficiente. - A alternativa
está incorreta porque o lado direito deve ser um número (o produto interno ), não a função . - A alternativa
exige igualdade exata (interpolação na função), o que geralmente não é possível em aproximação por mínimos quadrados com espaço de menor dimensão; não é a condição de mínimo. - A alternativa
está errada porque isso exigiria que fosse ortogonal a todos os , o que não é a condição de escolha dos coeficientes (o que precisa ser ortogonal é o resíduo ).