A quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos é aplicada para aproximar
. Qual é o valor mais próximo?
Escolha uma opção:
◯ a. 1.7815
◯ b. 1.2000
◯ c. 1.7700
◯ d. 1.7704
◯ e. 1.7725
◯ a. 1.7815
◯ b. 1.2000
◯ c. 1.7700
◯ d. 1.7704
◯ e. 1.7725
Passo 1
O enunciado pede: aplicar a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos para aproximar a integral
e escolher, entre as opções dadas, qual valor é o mais próximo da aproximação.
Informações relevantes do enunciado: a regra usada é a quadratura de Gauss-Hermite com pontos e a função integrada é
(ou seja, integrando a função constante
com o peso
).
Informações relevantes do enunciado: a regra usada é a quadratura de Gauss-Hermite com
Passo 2
O que é a quadratura de Gauss-Hermite (fórmula e significado das variáveis). A fórmula geral da quadratura de Gauss-Hermite com
pontos é
onde:
-
são os nós (raízes do polinômio de Hermite de grau ); -
são os pesos associados a cada nó; -
é a função “extra” (quando escrevemos a integral como peso vezes ).
Propriedade importante (grau de exatidão): a quadratura de Gauss-Hermite com
pontos é exata para toda função
que seja um polinômio de grau até
. Em palavras mais simples: se
for um polinômio de grau
, então a soma dos
dá exatamente o valor da integral com peso
. Isso decorre das propriedades de ortogonalidade dos polinômios de Hermite e do fato de que os nós e pesos são escolhidos para maximizar essa exatidão.
Passo 3
Aplicação ao nosso caso: aqui estamos integrando
. Podemos ver isso como a fórmula de Gauss-Hermite com
. A função
é um polinômio de grau
, e
. Portanto a quadratura de Gauss-Hermite com
pontos é exata para esta integral — ou seja, a aproximação dada pela soma dos pesos na regra de
pontos é exatamente o valor da integral verdadeira.
Passo 4
Calcular analiticamente o valor exato da integral (aula rápida do integral gaussiano). Definimos
Um método clássico para calcular
é quadruplicar e mudar para coordenadas polares. Primeiro note que
Agora passamos para coordenadas polares
onde
e
. Assim
Calculamos a integral em
fazendo a substituição
(
):
Portanto
Logo
Passo 5
Valor numérico e escolha da opção mais próxima. O resultado exato é
. Numericamente,
Agora comparando com as opções fornecidas, a que está mais próxima é a opção
com
(diferença de ordem
), muito menor que as diferenças para as outras alternativas. Como a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos é exata aqui, a aproximação coincide com
, logo a alternativa correta é a
.
Resposta
e.