A quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos é aplicada para aproximar \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x. Qual é o valor mais próximo?
Escolha uma opção:
◯ a. 1.7815
◯ b. 1.2000
◯ c. 1.7700
◯ d. 1.7704
◯ e. 1.7725

Passo 1

O enunciado pede: aplicar a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos para aproximar a integral
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx
e escolher, entre as opções dadas, qual valor é o mais próximo da aproximação.
Informações relevantes do enunciado: a regra usada é a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos e a função integrada é e^{-x^{2}} (ou seja, integrando a função constante f(x)=1 com o peso e^{-x^{2}}).

Passo 2

O que é a quadratura de Gauss-Hermite (fórmula e significado das variáveis). A fórmula geral da quadratura de Gauss-Hermite com n pontos é
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i}\,f(x_{i}),
onde:
  • x_{i} são os nós (raízes do polinômio de Hermite de grau n);
  • w_{i} são os pesos associados a cada nó;
  • f(x) é a função “extra” (quando escrevemos a integral como peso e^{-x^{2}} vezes f(x)).
Propriedade importante (grau de exatidão): a quadratura de Gauss-Hermite com n pontos é exata para toda função f que seja um polinômio de grau até 2n-1. Em palavras mais simples: se f(x) for um polinômio de grau \le 2n-1, então a soma dos w_i f(x_i) dá exatamente o valor da integral com peso e^{-x^2}. Isso decorre das propriedades de ortogonalidade dos polinômios de Hermite e do fato de que os nós e pesos são escolhidos para maximizar essa exatidão.

Passo 3

Aplicação ao nosso caso: aqui estamos integrando \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx. Podemos ver isso como a fórmula de Gauss-Hermite com f(x)=1. A função f(x)=1 é um polinômio de grau 0, e 0 \le 2\cdot 4-1 = 7. Portanto a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos é exata para esta integral — ou seja, a aproximação dada pela soma dos pesos na regra de 4 pontos é exatamente o valor da integral verdadeira.

Passo 4

Calcular analiticamente o valor exato da integral (aula rápida do integral gaussiano). Definimos
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx.
Um método clássico para calcular I é quadruplicar e mudar para coordenadas polares. Primeiro note que
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,dy\right) =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.
Agora passamos para coordenadas polares (r,\theta) onde x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. Assim
I^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Calculamos a integral em r fazendo a substituição u=r^{2} ( du=2r\,dr):
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}\,r\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \tfrac{1}{2}.
Portanto
I^{2}=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Logo
I=\sqrt{\pi}.

Passo 5

Valor numérico e escolha da opção mais próxima. O resultado exato é \sqrt{\pi}. Numericamente,
\sqrt{\pi}\approx 1,7724538509.
Agora comparando com as opções fornecidas, a que está mais próxima é a opção e com 1,7725 (diferença de ordem 4{,}6\times 10^{-5}), muito menor que as diferenças para as outras alternativas. Como a quadratura de Gauss-Hermite com 4 pontos é exata aqui, a aproximação coincide com \sqrt{\pi}, logo a alternativa correta é a e.

Resposta

e. 1,7725

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