Uma central de atendimento funciona com dois servidores atendendo simultaneamente, de modo independente. O tempo de atendimento por chamada do servidor i, que chamaremos de Ti, tem distribuição exponencial de parâmetro lambdai, i=1,2, independentes entre si. Em um dado instante encontramos filas vazias e exatamente uma pessoa sendo atendida em cada servidor. Seja T o instante que o primeiro deles é liberado. Considerando que ambos começaram o atendimento ao mesmo tempo, determine a densidade de T .
  • 15 - Dada uma variável aleatória contínua e positiva f(t), t>0 com densidade lambdaT(t), definimos a taxa de risco T de lambdaT(t)=f(t)1-F(t), por
F(t)=P(T <= t)
onde P(tt) approx lambdaT(t) dt é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
T1, cdots, Tn
Considere agora variáveis f1(t), cdots, fn(t) positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por W, e defina T1, cdots, Tn.
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de lambdaW(t) em termos da funções distribuição acumuladas de W;
b) Mostre que a taxa de risco lambdaW(t)=lambdaT1(t)+cdots+lambdaTn(t) de & Ti sim Exponencial(lambdai) & i=1, ldots, n é dada por
n=2
c) Repita os itens anteriores no caso em que
(Se tiver dificuldade, faça primeiro o caso )

Passo 1

Neste exercício temos duas partes: a primeira sobre o tempo mínimo de atendimento em duas filas independentes com tempos exponenciais; a segunda sobre riscos e o mínimo de n variáveis independentes.

Passo 2

Resumo do primeiro item: temos dois tempos de atendimento independentes T₁∼Expo(λ₁) e T₂∼Expo(λ₂) iniciando juntos. Definimos T = min{T₁,T₂} e queremos a densidade de T.

Passo 3

Para achar a função distribuição de T usamos P(T>t) = P(T₁>t e T₂>t). Como são independentes e exponenciais, P(Tᵢ>t) = e^{-λᵢ t}. Então
Bloco de texto:
P(T>t) = P(T₁>t)cdot P(T₂>t) = e^-λ₁ t ;e^-λ₂ t = e^-(λ₁+λ₂)t
Logo a CDF de T é
Bloco de texto:
FT(t)=P(T<= t)=1 - e^-(λ₁+λ₂)t

Passo 4

Densidade de T obtém-se derivando a CDF:
Bloco de texto:
fT(t)=ddtFT(t)=(λ₁+λ₂),e^-(λ₁+λ₂)t, t>0

Passo 5

Agora parte 15(a): temos T₁,…,Tₙ independentes com CDFs F₁,…,Fₙ. Definimos W = min{T₁,…,Tₙ}. A CDF de W é P(W≤t) = 1 − P(T₁>t,…,Tₙ>t). Pela independência:
Bloco de texto:
FW(t)=1 - prodi=1^nl(1 - Fi(t)r)

Passo 6

15(b): a densidade de W é f_W(t)=F_W’(t). Mas para taxa de risco usamos
Bloco de texto:
lambdaW(t)=fW(t)1-FW(t)

Passo 7

Podemos mostrar que
Bloco de texto:
fW(t)=sumi=1^n fi(t)prodjne il(1-Fj(t)r)

Passo 8

E como 1−F_W(t)=∏_{j=1}^n(1−F_j(t)), divide-se termo a termo para obter
Bloco de texto:
lambdaW(t)=sumi=1^nfi(t)1-Fi(t)=sumi=1^nlambdaTi(t)

Passo 9

15©: para Tᵢ∼Expo(λᵢ) temos F_i(t)=1−e^{-λᵢt} e densidade f_i(t)=λᵢe^{-λᵢt}. Logo
Bloco de texto:
FW(t)=1-prodi=1^n e^-λi t=1-e^-sumi=1^nλi,t,

Passo 10

o que diz que W∼Expo(∑λᵢ) e portanto
Bloco de texto:
lambdaW(t)=sumi=1^nλi,

Passo 11

que é constante.
Com isso, concluímos todos os itens.

Resposta

Para os dois servidores independentes exponenciais: f_T(t)=(λ₁+λ₂)e^{-(λ₁+λ₂)t}, t>0.
Para W=min{T₁,…,Tₙ} independentes com CDFs F_i:
(a) F_W(t)=1−∏_{i=1}^n[1−F_i(t)];
(b) λ_W(t)=∑_{i=1}^nλ_{T_i}(t);
© se T_i∼Expo(λ_i), então W∼Expo(∑λ_i) e λ_W=∑λ_i.

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