Uma central de atendimento funciona com dois servidores atendendo simultaneamente, de modo independente. O tempo de atendimento por chamada do servidor
, que chamaremos de
, tem distribuição exponencial de parâmetro
,
, independentes entre si. Em um dado instante encontramos filas vazias e exatamente uma pessoa sendo atendida em cada servidor. Seja
o instante que o primeiro deles é liberado. Considerando que ambos começaram o atendimento ao mesmo tempo, determine a densidade de T .
- 15 - Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
.
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de
em termos da funções distribuição acumuladas de
;
b) Mostre que a taxa de risco
de
é dada por
c) Repita os itens anteriores no caso em que
(Se tiver dificuldade, faça primeiro o caso
)
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de
b) Mostre que a taxa de risco
Passo 1
Neste exercício temos duas partes: a primeira sobre o tempo mínimo de atendimento em duas filas independentes com tempos exponenciais; a segunda sobre riscos e o mínimo de n variáveis independentes.
Passo 2
Resumo do primeiro item: temos dois tempos de atendimento independentes T₁∼Expo(λ₁) e T₂∼Expo(λ₂) iniciando juntos. Definimos T = min{T₁,T₂} e queremos a densidade de T.
Passo 3
Para achar a função distribuição de T usamos P(T>t) = P(T₁>t e T₂>t). Como são independentes e exponenciais, P(Tᵢ>t) = e^{-λᵢ t}. Então
Bloco de texto:
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Logo a CDF de T é
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Passo 4
Densidade de T obtém-se derivando a CDF:
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Passo 5
Agora parte 15(a): temos T₁,…,Tₙ independentes com CDFs F₁,…,Fₙ. Definimos W = min{T₁,…,Tₙ}. A CDF de W é P(W≤t) = 1 − P(T₁>t,…,Tₙ>t). Pela independência:
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Passo 6
15(b): a densidade de W é f_W(t)=F_W’(t). Mas para taxa de risco usamos
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Passo 7
Podemos mostrar que
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Passo 8
E como 1−F_W(t)=∏_{j=1}^n(1−F_j(t)), divide-se termo a termo para obter
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Passo 9
15©: para Tᵢ∼Expo(λᵢ) temos F_i(t)=1−e^{-λᵢt} e densidade f_i(t)=λᵢe^{-λᵢt}. Logo
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Passo 10
o que diz que W∼Expo(∑λᵢ) e portanto
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Passo 11
que é constante.
Com isso, concluímos todos os itens.
Com isso, concluímos todos os itens.
Resposta
Para os dois servidores independentes exponenciais: f_T(t)=(λ₁+λ₂)e^{-(λ₁+λ₂)t}, t>0.
Para W=min{T₁,…,Tₙ} independentes com CDFs F_i:
(a) F_W(t)=1−∏_{i=1}^n[1−F_i(t)];
(b) λ_W(t)=∑_{i=1}^nλ_{T_i}(t);
© se T_i∼Expo(λ_i), então W∼Expo(∑λ_i) e λ_W=∑λ_i.
(a) F_W(t)=1−∏_{i=1}^n[1−F_i(t)];
(b) λ_W(t)=∑_{i=1}^nλ_{T_i}(t);
© se T_i∼Expo(λ_i), então W∼Expo(∑λ_i) e λ_W=∑λ_i.