A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a) a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
b) a venda diária exceda 8 mil reais em ao menos dois dias, durante três dias consecutivos.
Para resolver este problema você precisa fazer hipóteses de independência. Que hipóteses são essas?

Passo 1

O enunciado diz que a venda bruta diária X (em milhares de reais) é normalmente distribuída com média mu=10 e desvio padrão sigma=2. Precisamos calcular: a probabilidade de que a soma em dois dias exceda 23, e a probabilidade de que em três dias, pelo menos dois dias tenham venda acima de 8. Para isso vamos usar a distribuição de soma de normais independentes e a binomial (após transformar em “sucesso” o evento X>8).

Passo 2

A soma de duas variáveis normais independentes X1,X2sim N(10,2^2) é também normal com média e variância somadas:
S = X1+X2 sim N(2mu,,2sigma^2)=N(20,8)
Logo,
P(S>23)=1-Phigl(23-20raiz8gr)

Passo 3

Calculando o valor crítico e a probabilidade:
z=23-20raiz8=32raiz2approx1,0607,
então
P(S>23)approx1-Phi(1,0607)approx1-0,8554=0,1446

Passo 4

Para cada dia,
p= P(X>8)=1-Phigl(8-102gr)=1-Phi(-1)=Phi(1)approx0,8413
Em 3 dias independentes, o número Y de dias com X>8 segue Binomial(n=3,p=0,8413). Queremos
P(Y>=2)=binom32p^2(1-p)+binom33p^3

Passo 5

Substituindo valores:
P(Y>=2)=3times(0,8413)^2times(0,1587)+(0,8413)^3approx0,9320

Passo 6

As hipóteses de independência usadas são que as vendas diárias em dias distintos são estatisticamente independentes entre si, o que permite somar variâncias (no item a) e usar modelo binomial (no item b).

Resposta

a) P(S>23)approx0,1446 b) P(pelo menos 2 dias>8)approx0,9320. Hipótese de independência: as vendas em dias distintos são independentes.

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