Dada uma variável aleatória contínua e positiva T com densidade f(t), t>0, definimos a taxa de risco lambdaT(t) de T por
lambdaT(t)=f(t)1-F(t),
onde F(t)=P(T <= t) é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
P(tt) approx lambdaT(t) dt
Considere agora variáveis T1, cdots, Tn positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por f1(t), cdots, fn(t), e defina W.
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de T1, cdots, Tn em termos da funções distribuição acumuladas de lambdaW(t);
b) Mostre que a taxa de risco W de lambdaW(t)=lambdaT1(t)+cdots+lambdaTn(t) é dada por
& Ti sim Exponencial(lambdai) & i=1, ldots, n
c) Repita os itens anteriores no caso em que
n=2
(Se tiver dificuldade, faça primeiro o caso )

Passo 1

Estamos lidando com variáveis aleatórias contínuas e positivas independentes T1,dots,Tn e definindo W=minT1,dots,Tn. O objetivo é achar a função distribuição acumulada (FDA) de W, sua taxa de risco lambdaW(t) em termos das FDA e taxas de risco de cada Ti, e depois repetir tudo para o caso exponencial.

Passo 2

Para encontrar a FDA de W, notamos que
W<= t=mini Ti<= t=cupi=1^nTi<= t. Usando independência e complemento:
FW(t)=P(W<= t)=1-Pl(capi=1^nTi>tr) =1-prodi=1^nP(Ti>t) =1-prodi=1^nl(1-Fi(t)r)

Passo 3

A densidade de W vem da derivada de FW(t). Derivando o produto:
fW(t)=ddtFW(t)=sumi=1^n fi(t),prodjneq il(1-Fj(t)r)

Passo 4

A taxa de risco de W é definida por
lambdaW(t)=fW(t)1-FW(t) =sumi=1^n fi(t)prodjneq i(1-Fj(t))prodk=1^n(1-Fk(t)) =sumi=1^nfi(t)1-Fi(t) =sumi=1^nlambdaTi(t)

Passo 5

No caso exponencial em que TisimExp(lambdai), temos
Fi(t)=1-e^-lambdai t, fi(t)=lambdai e^-lambdai t, lambdaTi(t)=lambdai
Substituindo em FW(t):
FW(t)=1-prodi=1^ne^-lambdai t =1-e^-tsumi=1^nlambdai,
e em lambdaW(t) obtemos
lambdaW(t)=sumi=1^nlambdai, \nlogo WsimExpl(sumilambdair).

Resposta

(a) FW(t)=1-prodi=1^nl(1-Fi(t)r)
(b) lambdaW(t)=sumi=1^nlambdaTi(t)
© Se TisimExp(lambdai), então
FW(t)=1-e^-tsumi=1^nlambdai,
lambdaW(t)=sumi=1^nlambdai,
e portanto WsimExp(sumilambdai).

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