Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
.
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de
em termos da funções distribuição acumuladas de
;
b) Mostre que a taxa de risco
de
é dada por
c) Repita os itens anteriores no caso em que
(Se tiver dificuldade, faça primeiro o caso
)
Com estas informações em mente, faça o que se pede.
a) Encontre a função distribuição acumulada de
b) Mostre que a taxa de risco
Passo 1
Estamos lidando com variáveis aleatórias contínuas e positivas independentes
e definindo
. O objetivo é achar a função distribuição acumulada (FDA) de
, sua taxa de risco
em termos das FDA e taxas de risco de cada
, e depois repetir tudo para o caso exponencial.
Passo 2
Para encontrar a FDA de
, notamos que
. Usando independência e complemento:
Passo 3
A densidade de
vem da derivada de
. Derivando o produto:
Passo 4
A taxa de risco de
é definida por
Passo 5
No caso exponencial em que
, temos
Substituindo em
:
e em
obtemos
Resposta
(a)
(b)
© Se , então
e portanto .
(b)
© Se
e portanto