Seja
e para
defina a variável
por
Mostre que
[
\mathbf{E}[X]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e{-x{2} / 2}
\mathbf{E}[X]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e{-x{2} / 2}
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória Z com distribuição Normal(0,1) e constrói X = Z se Z>x e X=0 caso contrário. O objetivo é calcular E[X], usando densidade da normal padrão e a definição de esperança para variáveis contínuas.
Passo 2
Como X só assume valores não nulos quando Z>x, podemos escrever usando a função indicadora: E[X] = E[Z·1{Z>x}] = ∫_x^∞ z·φ(z) dz, onde φ(z) =
é a densidade de Z.
Passo 3
Observamos que a derivada de φ(z) é φ’(z)= -z·φ(z). Isso implica z·φ(z)= -φ’(z). Substituindo no integral, temos ∫_x^∞ z·φ(z) dz = -∫_x^∞ φ’(z) dz.
Passo 4
A integral de derivada é dada por termo de contorno: -∫_x^∞ φ’(z) dz = -[φ(z)]_x^∞ = 0 - ( -φ(x) ) = φ(x). Portanto E[X] = φ(x) =
.