Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade f(t)=t e^-t, t>0. Seja N(t) o total de baterias funcionando após t dias, e T o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de N(t)
b) Encontre a densidade de T

Passo 1

Resumo do problema: temos três baterias com tempos de vida independentes Tisimgamma(2,1) com densidade f(t)=t e^-t. A máquina funciona enquanto pelo menos duas baterias estiverem vivas. Definimos N(t) como número de baterias vivas em t e T como tempo até a máquina falhar (quando restar menos de 2 baterias).

Passo 2

Calculamos a função de distribuição acumulada F(t) e a função sobrevivência S(t) de cada bateria. Integrando f(t)=t e^-t obtemos F(t)=1-(1+t)e^-t e daí S(t)=1-F(t)=(1+t)e^-t.

Passo 3

Como cada bateria está viva em t com probabilidade S(t) e falhada com probabilidade 1-S(t), temos N(t)simBinomial(3,S(t)). Logo
P(N(t)=k)=binom3kl((1+t)e^-tr)^kl(1-(1+t)e^-tr)^3-k, k=0,1,2,3

Passo 4

Reconhecemos que T é a segunda estatística de ordem entre as três vidas, ou seja T=T(2). A densidade da k-ésima estatística de ordem em n=3 é dada por
f(k)(t)=n!(k-1)!(n-k)![F(t)]^k-1[1-F(t)]^n-kf(t)

Passo 5

Para k=2 isso dá
fT(t)=6F(t)[1-F(t)]f(t)

Passo 6

Substituindo F(t)=1-(1+t)e^-t e f(t)=t e^-t obtemos
fT(t)=6t(1+t)e^-2tl(1-(1+t)e^-tr), t>0

Resposta

a) P(N(t)=k)=binom3kl((1+t)e^-tr)^kl(1-(1+t)e^-tr)^3-k, k=0,1,2,3
b) fT(t)=6t(1+t)e^-2tl(1-(1+t)e^-tr), t>0

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