Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade
. Seja
o total de baterias funcionando após t dias, e T o tempo de funcionamento da máquina.
a) Encontre a função de probabilidade de
b) Encontre a densidade de
a) Encontre a função de probabilidade de
b) Encontre a densidade de
Passo 1
Resumo do problema: temos três baterias com tempos de vida independentes
com densidade
. A máquina funciona enquanto pelo menos duas baterias estiverem vivas. Definimos
como número de baterias vivas em
e
como tempo até a máquina falhar (quando restar menos de 2 baterias).
Passo 2
Calculamos a função de distribuição acumulada
e a função sobrevivência
de cada bateria. Integrando
obtemos
e daí
.
Passo 3
Como cada bateria está viva em
com probabilidade
e falhada com probabilidade
, temos
. Logo
Passo 4
Reconhecemos que
é a segunda estatística de ordem entre as três vidas, ou seja
. A densidade da
-ésima estatística de ordem em
é dada por
Passo 5
Para
isso dá
Passo 6
Substituindo
e
obtemos
Resposta
a)
b)