Uma fábrica de reagentes químicos tem um setor de escoamento de fluidos em que uma seção transversal tem diâmetro igual a 45 mm e outra de 0,31 \mathrm{ft}. Segundo normas regulamentares, a empresa é obrigada a manter esse escoamento sob uma vazão mínima de 55 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. o bocal está conectado a uma mangueira que apresenta diâmetro igual a 76 mm .
Determine o valor da pressão na seção de alimentação em Pascal. (3 Pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário sem perda entre uma seção de alimentação (mangueira de diâmetro d_1) e o bocal (seção de diâmetro d_2), ligado ao ambiente (pressão atmosférica). O fluido deve ter vazão mínima \,Q=55\:\mathrm{m^3/h}. Vamos usar:
  1. Continuidade: Q=A_1v_1=A_2v_2.
  2. Bernoulli simplificado (incomp., sem variação de cota nem perdas):
P_1+\tfrac12\rho v_1^2 = P_2+\tfrac12\rho v_2^2
onde P_2=P_{\rm atm}.

Passo 2

Converter unidades da vazão para o SI:
Q=55\:\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}} =\frac{55}{3600}\:\mathrm{m^3/s} \approx0{,}015278\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Determinar áreas e velocidades em cada seção, com d_1=76\:\mathrm{mm}=0{,}076\:\mathrm{m} e d_2=45\:\mathrm{mm}=0{,}045\:\mathrm{m}.
A_1=\pi\Bigl(\frac{d_1}{2}\Bigr)^2 =\pi(0{,}038)^2\approx0{,}004538\:\mathrm{m^2}, \quad v_1=\frac{Q}{A_1}\approx\frac{0{,}015278}{0{,}004538}\approx3{,}37\:\mathrm{m/s},
A_2=\pi\Bigl(\frac{d_2}{2}\Bigr)^2 =\pi(0{,}0225)^2\approx0{,}001590\:\mathrm{m^2}, \quad v_2=\frac{Q}{A_2}\approx\frac{0{,}015278}{0{,}001590}\approx9{,}60\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar Bernoulli entre a seção 1 (alimentação) e a saída 2 (bocal com P_2=P_{\rm atm}). Tomando densidade \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}:
P_1 = P_{\rm atm} + \tfrac12\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2).

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
v_2^2 - v_1^2 = (9{,}60)^2 - (3{,}37)^2 \approx92{,}16 - 11{,}35 = 80{,}81\:\mathrm{m^2/s^2},
\tfrac12\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2) = 0{,}5\cdot1000\cdot80{,}81 \approx4{,}04\times10^4\:\mathrm{Pa}.
Como P_{\rm atm}\approx1{,}013\times10^5\:\mathrm{Pa},
P_1\approx1{,}013\times10^5 + 4{,}04\times10^4 \approx1{,}417\times10^5\:\mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão absoluta na seção de alimentação é
P_1\approx1{,}42\times10^5\:\mathrm{Pa},
o que equivale a uma pressão manométrica de cerca de
P_1-P_{\rm atm}\approx4{,}04\times10^4\:\mathrm{Pa}.

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