O Centro Acadêmico de Administração está vendendo uma rifa para angariar fundos. Serão sorteados 4 pequenos aparelhos de som. Foram emitidos 200 bilhetes. Você comprou 5 e um amigo seu 8.
Qual é a probabilidade de que você ganhe 2 prêmios e seu amigo ganhe os outros 2 ?
Qual é a probabilidade de que você ganhe 2 prêmios e seu amigo ganhe os outros 2 ?
Passo 1
O enunciado: temos 200 bilhetes no total, vão sair 4 prêmios sem reposição, você comprou 5 bilhetes e seu amigo comprou 8. Precisamos da probabilidade de que você acerte exatamente 2 prêmios e seu amigo os outros 2. O conteúdo aqui envolve contagem e probabilidade sem reposição, ou seja, combinações e distribuição hipergeométrica multicategórica.
Passo 2
Para resolver usamos o princípio de contagem: o número total de formas de escolher os 4 bilhetes premiados entre 200 é dado por
.
Passo 3
Em seguida calculamos as formas favoráveis: você deve ter exatamente 2 dos prêmios e seu amigo exatamente 2. O número de maneiras de escolher 2 prêmios entre seus 5 bilhetes é
e de escolher 2 entre os 8 do seu amigo é
. Como não há prêmios restantes para outros, multiplicamos essas duas quantidades.
Passo 4
Portanto, a probabilidade pedida é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis.
Substituindo as combinações, temos:
Substituindo as combinações, temos:
Passo 5
Opcionalmente, podemos calcular numericamente:
,
e
. Assim