O Centro Acadêmico de Administração está vendendo uma rifa para angariar fundos. Serão sorteados 4 pequenos aparelhos de som. Foram emitidos 200 bilhetes. Você comprou 5 e um amigo seu 8.
Qual é a probabilidade de que você ganhe 2 prêmios e seu amigo ganhe os outros 2 ?

Passo 1

O enunciado: temos 200 bilhetes no total, vão sair 4 prêmios sem reposição, você comprou 5 bilhetes e seu amigo comprou 8. Precisamos da probabilidade de que você acerte exatamente 2 prêmios e seu amigo os outros 2. O conteúdo aqui envolve contagem e probabilidade sem reposição, ou seja, combinações e distribuição hipergeométrica multicategórica.

Passo 2

Para resolver usamos o princípio de contagem: o número total de formas de escolher os 4 bilhetes premiados entre 200 é dado por binom2004.

Passo 3

Em seguida calculamos as formas favoráveis: você deve ter exatamente 2 dos prêmios e seu amigo exatamente 2. O número de maneiras de escolher 2 prêmios entre seus 5 bilhetes é binom52 e de escolher 2 entre os 8 do seu amigo é binom82. Como não há prêmios restantes para outros, multiplicamos essas duas quantidades.

Passo 4

Portanto, a probabilidade pedida é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis.
Substituindo as combinações, temos:
P = binom52,binom82binom2004

Passo 5

Opcionalmente, podemos calcular numericamente: binom52=10, binom82=28 e binom2004=64,684,950. Assim
P = 10times2864,684,950 = 28064,684,950 = 4924,071 approx 4,33times10^-6

Resposta

P = binom52,binom82binom2004

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