Usualmente avalia-se a qualidade de peças produzidas através de amostras aleatórias dos lotes produzidas. Em um processo retira-se uma amostra de 5 peças de um lote, se 3 ou mais apresentarem defeitos o lote é rejeitado. Calcule a probabilidade de o lote ser rejeitado nas situações a seguir.
O lote tem 95 peças, das quais 5 apresentam defeitos.

Passo 1

O lote tem N=95 peças, das quais K=5 são defeituosas. Vamos retirar uma amostra de tamanho n=5 e rejeitar o lote se o número de peças defeituosas X na amostra for >=3. O conteúdo é distribuição hipergeométrica, pois se trata de amostragem sem reposição.

Passo 2

Em amostragem sem reposição, X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros (N,K,n). A fórmula da probabilidade de obter exatamente k defeituosas é
P(X=k)=binomKkbinomN-Kn-kbinomNn

Passo 3

Queremos rejeitar o lote se X>=3, ou seja
P(rejeitar)=P(X>=3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

Passo 4

Agora calculamos os numeradores de cada termo:
P(X=3):;binom53binom902=10times 4005=40050,
P(X=4):;binom54binom901=5times 90=450,
P(X=5):;binom55binom900=1times1=1

Passo 5

O denominador é
binom955=95times94times93times92times915!=57940519
Somando os numeradores 40050+450+1=40501 e dividindo pelo denominador, obtemos:

Passo 6

Fazendo a divisão
$$
P(rejeitar)=\frac{40501}{57940519}\approx0,000699.$$

Resposta

A probabilidade de rejeitar o lote é aproximadamente 0,0007 (ou 0,07%).

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